[論文レビュー] Representations of C*-dynamical systems implemented by Cuntz families

Evgenios T. A. Kakariadis, Justin R. Peters|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2012

Advanced Operator Algebra Research参考文献 35被引用数 22

ひとこと要約

本稿は、$n>1$ の非自己随伴作用素代数が $C^*$-自己同型でない $*$-自己準同型 $α$ を持つ $C^*$-動的系 $(A,\alpha)$ に関連して、Cuntz族の表現を用いて調査し、代数 $A_{\text{nd}}\times_{\alpha}^{t}\mathcal{T}_{n}^{\!+}$ の $C^*$-包絡は、ねじれた交叉積 $A_{\infty}\rtimes_{\alpha_{\infty}}\mathcal{O}_{n}$ のフルコーナーであることを確立している。これは $n>1$ の非自己同型的類似版として、Stacey の結果を一般化するものである。本研究は、$n>1$ で $α$ が自己同型でない場合、Stacey の交叉積からねじれた交叉積への標準的 $*$-上準同型が単射でないことを示すことで、重要なギャップを解消している。

ABSTRACT

Given a dynamical system $(A,\al)$ where $A$ is a unital $\ca$-algebra and $\al$ is a (possibly non-unital) *-endomorphism of $A$, we examine families $(π,\{T_i\})$ such that $π$ is a representation of $A$, $\{T_i\}$ is a Toeplitz-Cuntz family and a covariance relation holds. We compute a variety of non-selfadjoint operator algebras that depend on the choice of the covariance relation, along with the smallest $\ca$-algebra they generate, namely the $\ca$-envelope. We then relate each occurrence of the $\ca$-envelope to (a full corner of) an appropriate twisted crossed product. We provide a counterexample to show the extent of this variety. In the context of $\ca$-algebras, these results can be interpreted as analogues of Stacey's famous result, for non-automorphic systems and $n>1$. Our study involves also the one variable generalized crossed products of Stacey and Exel. In particular, we refine a result that appears in the pioneering paper of Exel on (what is now known as) Exel systems.

研究の動機と目的

• Stacey の $n$-多重交叉積結果を $n>1$ の非自己同型的 $*$-自己準同型に拡張すること、ここで元の同型は成立しない。
• Covariance 関係を満たす $A$ と Toeplitz-Cuntz 族の表現によって生成される非自己随伴作用素代数の $C^*$-包絡を研究すること。
• 非自己同型の場合に、$C^*$-包絡を $A_{\infty}\rtimes_{\alpha_{\infty}}\mathcal{O}_{n}$ のようなフルコーナーを通じてねじれた交叉積に関連付けること。
• 普遍 $C^*$-代数 $A\times_{\alpha}^{n}\mathbb{N}$ と非自己随伴代数 $A_{\text{nd}}\times_{\alpha}\mathcal{T}_{n}^{\!+}$ の $C^*$-包絡との違いを明確にし、それらが同型でないことを示すこと。

提案手法

• Cuntz 族 $\{T_i\}$ と $A$ の表現 $\pi$ を含む共変関係を満たす普遍代数として、二つの非自己随伴作用素代数 $A_{\text{nd}}\times_{\alpha}^{t}\mathcal{T}_{n}^{\!+}$ と $A_{\text{nd}}\times_{\alpha}\mathcal{T}_{n}^{\!+}$ を定義する。
• Arveson の $C^*$-包絡プログラムを用いて、これらの非自己随伴代数が生成する最小の $C^*$-代数を同定する。
• Stacey の普遍 $C^*$-代数 $A\times_{\alpha}^{n}\mathbb{N}$ からねじれた交叉積 $A_{\infty}\rtimes_{\alpha_{\infty}}\mathcal{O}_{n}$ への標準的 $*$-上準同型を構成し、反例を用いて $n>1$ かつ $\alpha$ が自己同型でない場合に単射でないことを示す。
• 非自己随伴代数 $A_{\text{nd}}\times_{\alpha}^{t}\mathcal{T}_{n}^{\!+}$ の $C^*$-包絡が $A_{\infty}\rtimes_{\alpha_{\infty}}\mathcal{O}_{n}$ のフルコーナーに同型であることを示し、Stacey の結果を非自己同型系に一般化する。
• $\ell^1$-稠密部分代数 $\ell^1(A,\alpha,\mathbb{F}_n^+)$ 上のフーリエ変換を用いて、$A_{\infty}\rtimes_{\alpha_{\infty}}\mathcal{O}_{n}$ への埋め込みが完全に収縮的であるが、完全に等長的ではないことを示す。
• イデアル構造と Šilov イデアルを分析し、$C^*$-包絡が最小的であり、非自己随伴代数を等長的に反映していることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非自己同型で $n>1$ の場合、Stacey の交叉積 $A\times_{\alpha}^{n}\mathbb{N}$ からねじれた交叉積 $A_{\infty}\rtimes_{\alpha_{\infty}}\mathcal{O}_{n}$ への標準的 $*$-上準同型は単射か？
• RQ2 非自己随伴代数 $A_{\text{nd}}\times_{\alpha}^{t}\mathcal{T}_{n}^{\!+}$ の $C^*$-包絡は、ねじれた交叉積のフルコーナーとして実現可能か？
• RQ3 非自己随伴代数 $A_{\text{nd}}\times_{\alpha}\mathcal{T}_{n}^{\!+}$ の $C^*$-包絡は、Stacey の普遍 $C^*$-代数 $A\times_{\alpha}^{n}\mathbb{N}$ と一致するか？
• RQ4 非自己随伴代数 $A_{\text{nd}}\times_{\alpha}\mathcal{T}_{n}^{\!+}$ から $A_{\infty}\rtimes_{\alpha_{\infty}}\mathcal{O}_{n}$ への標準的埋め込みは完全に等長的か？
• RQ5 $\ell^1$-稠密部分代数 $\ell^1(A,\alpha,\mathbb{F}_n^+)$ と非自己随伴代数 $A_{\text{nd}}\times_{\alpha}\mathcal{T}_{n}^{\!+}$ の $C^*$-包絡との関係は何か？

主な発見

• 非自己随伴代数 $A_{\text{nd}}\times_{\alpha}^{t}\mathcal{T}_{n}^{\!+}$ の $C^*$-包絡は、ねじれた交叉積 $A_{\infty}\rtimes_{\alpha_{\infty}}\mathcal{O}_{n}$ のフルコーナーに同型であり、$n>1$ の非自己同型的類似として Stacey の結果を一般化する。
• 反例により、$n>1$ で $\alpha$ が自己同型でない場合、$A\times_{\alpha}^{n}\mathbb{N} \to A_{\infty}\rtimes_{\alpha_{\infty}}\mathcal{O}_{n}$ の標準的 $*$-上準同型は単射でないことが示された（$S_1^*S_1S_2$ が消えないことによる）。
• 非自己随伴代数 $A_{\text{nd}}\times_{\alpha}\mathcal{T}_{n}^{\!+}$ の $C^*$-包絡は、$A\times_{\alpha}^{n}\mathbb{N}$ に同型であり、普遍 $C^*$-代数が非自己随伴代数を生成する最小の $C^*$-代数であることを確認した。
• 非自己随伴代数 $A_{\text{nd}}\times_{\alpha}\mathcal{T}_{n}^{\!+}$ から $A_{\infty}\rtimes_{\alpha_{\infty}}\mathcal{O}_{n}$ への標準的埋め込みは完全に収縮的だが、完全に等長的ではない。これは、$C^*$-包絡が像よりも厳密に小さいことを示唆する。
• $\ell^1$-稠密部分代数 $\ell^1(A,\alpha,\mathbb{F}_n^+)$ はフーリエ変換を許容し、$A_{\infty}\rtimes_{\alpha_{\infty}}\mathcal{O}_{n}$ に単射に埋め込まれるが、この埋め込みは完全に等長的ではない。
• 非自己随伴代数 $A_{\text{nd}}\times_{\alpha}^{t}\mathcal{T}_{n}^{\!+}$ と $A_{\text{nd}}\times_{\alpha}\mathcal{T}_{n}^{\!+}$ の $C^*$-包絡は同型でない。前者は $A_{\infty}\rtimes_{\alpha_{\infty}}\mathcal{O}_{n}$ のフルコーナーを含むが、後者は含まない。