[論文レビュー] Representations of *-semigroups associated to invariant kernels with values continuously adjointable operators

Serdar Ay, Aurelian Gheondea|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2015

Advanced Operator Algebra Research参考文献 26被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、*-半群の VH空間（ベクトルヒルベルト空間）上における *-表現の存在のための2つの必要十分な有界性条件を、連続的に自己随伴可能な作用素値をとる不変正定値核を通じて確立する。主な貢献は、局所 C*-代数値ヒルベルト加群上の完全正値写像の Stinespring-Kasparov 擬似定理を一般化する統一的枠組みを提供することであり、一方の条件は Sz.-Nagy の有界性を一般化し、もう一方の条件は VH空間設定下での随伴作用素の連続性を保証する。

ABSTRACT

We consider positive semidefinite kernels valued in the $*$-algebra of continuous and continuously adjointable operators on a VH-space (Vector Hilbert space in the sense of Loynes) and that are invariant under actions of $*$-semigroups. For such a kernel we obtain two necessary and sufficient boundedness conditions in order for there to exist $*$-representations of the underlying $*$-semigroup on a VH-space linearisation, equivalently, on a reproducing kernel VH-space. We exhibit several situations when the latter boundedness condition is automatically fulfilled. For example, when specialising to the case of Hilbert modules over locally $C^*$-algebras, we show that both boundedness conditions are automatically fulfilled and, consequently, this general approach provides a rather direct proof of the general Stinespring-Kasparov type dilation theorem for completely positive maps on locally $C^*$-algebras and with values adjointable operators on Hilbert modules over locally $C^*$-algebras.

研究の動機と目的

• VH空間上における連続的に自己随伴可能な作用素値をとる不変核を通じて、*-半群の *-表現のための統一的枠組みを構築すること。
• 局所 C*-代数値のヒルベルト加群上の完全正値写像の Stinespring-Kasparov 擬似定理を、自己随伴可能な作用素値に一般化すること。
• VH空間上における *-表現の存在のための2つの必要十分な有界性条件を同定すること。特に作用素とその随伴の連続性に注目する。
• Loynes の VH空間フレームワークを C*-代数に限らず、局所 C*-代数およびそれら上のヒルベルト加群へと適用範囲を拡張すること。

提案手法

• 著者らは、VH空間上の連続的に自己随伴可能な作用素の *-代数値をとる正定値核を定義し、*-半群の作用に関して不変であると仮定する。
• 2つの有界性条件を導入する：(b1) *-表現の連続性に関連するもの（Sz.-Nagy の条件に類似）、(b2) 作用素の随伴の連続性を保証するもので、VH空間設定下では自発的ではない。
• 証明では、*-半群における近似単位と、自己随伴作用素空間における厳密位相収束を用いて、ヒルベルト空間線形化上での *-表現を構成する。
• 構成には、半ノルム $p$ から商空間 ${\mathcal{K}}_p$ を定義し、誘導される写像 $\pi_p$ が C*-代数商上の有界な *-準同型であることを示す。
• 有界性条件と $\mathcal{L}^*({\mathcal{H}},{\mathcal{K}})$ 上の厳密位相の性質を用いて、作用素ノルム推定により *-表現 $\pi$ の連続性を確立する。
• 近似単位 $(e_i)$ 沿いに $\varphi(e_i) \to W^*W$ となる有界作用素 $W$ を用いて、$\varphi(b) = W^*\pi(b)W$ を示すことで、擬似定理を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 VH空間上における連続的に自己随伴可能な作用素値をとる不変正定値核が、対応する *-半群の *-表現を許容するための条件は何か？
• RQ2 古典的な Stinespring-Kasparov 擬似定理は、局所 C*-代数上のヒルベルト加群の文脈にどのように一般化できるか？
• RQ3 このような *-表現の存在のための必要十分な有界性条件は何か。特に、随伴作用素の連続性に関しては？
• RQ4 どのような状況で有界性条件が自発的に満たされるのか。特に局所 C*-代数の文脈においては？

主な発見

• 本稿は、2つの必要十分な有界性条件を確立した：(b1) *-表現の連続性のためのもの、(b2) 随伴作用素の連続性のためのもので、VH空間設定下では (b2) は自発的ではない。
• 核が局所 C*-代数上のヒルベルト加群上の自己随伴可能な作用素値をとる場合、両方の有界性条件は自発的に満たされるため、この文脈で Stinespring-Kasparov 擬似定理の直接的証明が可能になる。
• ヒルベルト空間線形化上での *-表現 $\pi$ は、自己随伴作用素空間上の厳密位相に関して連続である。
• 擬似写像 $\varphi(b) = W^*\pi(b)W$ は連続であり、任意の近似単位 $(e_i)$ 沿いに $\varphi(e_i) \to W^*W$ が厳密収束する。
• 構成により、$\pi$ の像は終域空間において稠密であり、ユニタリ同値を除いて表現は一意的である。