[論文レビュー] Residual properties of 3-manifold groups I: Fibered and hyperbolic 3-manifolds

Thomas Koberda|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 26被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、3次元多様体の基本群がバニラ的にp-余分類可能であるものを分類し、ファイバリングおよび双曲的3次元多様体の基本群が、ホモロジーへのモノドロミー作用とWiseの最近の結果を用いてバニラ的にp-余分類可能であることを証明する。主な貢献は、モノドロミーがH₁(Σ, ℤ/pℤ)上に単調作用するならば、基本群はp-余分類可能であることを示したことであり、またすべての有限体積双曲的3次元多様体の基本群がバニラ的にp-余分類可能であることも示している。

ABSTRACT

Let $p$ be a prime. In this paper, we classify the geometric 3-manifolds whose fundamental groups are virtually residually $p$. Let $M=M^3$ be a virtually fibered 3-manifold. It is well-known that $G=π_1(M)$ is residually solvable and even residually finite solvable. We prove that $G$ is always virtually residually $p$. Using recent work of Wise, we prove that every hyperbolic 3-manifold is either closed or virtually fibered and hence has a virtually residually $p$ fundamental group. We give some generalizations to pro-$p$ completions of groups, mapping class groups, residually torsion-free nilpotent 3-manifold groups and central extensions of residually $p$ groups.

研究の動機と目的

• 幾何的3次元多様体のうち、基本群がバニラ的にp-余分類可能なものの分類を目的とし、特にファイバリングおよび双曲的ケースに焦点を当てる。
• ファイバリング3次元多様体の基本群がp-余分類可能となる条件を、特にホモロジーへのモノドロミー作用との関係で理解すること。
• p-余分類可能群の中心拡張、マッピングクラス群、およびpro-p完備化への結果の拡張。
• 3次元多様体群の残余性質、特に残余冪零性および残余トーショントルション自由冪零性との関係を調査すること。
• Wiseの最近の研究を用いて、Lubotzkyの双曲的3次元多様体群のp-余分類可能性に関する質問に答えること。

提案手法

• ファイバリング3次元多様体に対して、1 → π₁(Σ) → π₁(M) → ℤ → 1 の短完全列を用い、ℤは安定生成子tによって生成される。
• H₁(Σ, ℤ/pℤ)へのモノドロミーψの作用を分析；単調作用がp-余分類可能性を示すことを証明。
• Wiseの最近の結果を適用し、すべての有限体積双曲的3次元多様体がバニラ的にファイバリング可能であることを示し、したがってその基本群はバニラ的にp-余分類可能であることを証明。
• H²における制限写像および核制限写像を含むコhomological技法を用い、中心拡張を研究し、拡張の非分解を検出。
• RFRS（有限p-余分類可能かつ可解的余分類可能）条件を用い、ヘイゼンバーグ群のような特定の冪零群がRFRSでないことを示す。
• アーベル化写像とその有限指数部分群における挙動を用い、RFRS列によって群の中心が尽きることはないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モノドロミーψがどのような条件下で、ファイバリング3次元多様体の基本群がp-余分類可能となるか？
• RQ2 双曲的3次元多様体の基本群がバニラ的にp-余分類可能となる条件は何か？この性質はすべての素数pに対して成り立つか？
• RQ3 3次元多様体群のp-余分類可能性は、mod pホモロジー表現の核に属する元との合成によって保たれるか？
• RQ4 どの3次元多様体群がトーショントルション自由冪零か？これはホモロジーへのモノドロミー作用とどのように関係するか？
• RQ5 特に非自明なオイラー類をもつ円筒束において、中心拡張におけるp-余分類可能性に障害はあるか？

主な発見

• モノドロミーψがH₁(Σ, ℤ/pℤ)上に単調作用するならば、π₁(M)はp-余分類可能である。
• トーラスをファイバーとする場合、π₁(M)はpがdet(A − I)を割り切るときかつそのときに限りp-余分類可能であり、ここでA ∈ SL₂(ℤ)はモノドロミー行列である。
• すべての有限体積双曲的3次元多様体の基本群はバニラ的にp-余分類可能である。これはWiseの研究により、バニラ的にファイバリング可能であるからである。
• 整数係数ヘイゼンバーグ群はRFRSでなく、一般に、非自明なe ∈ H²(N/Z, Z)をもつトーショントルション自由冪零群はRFRSでない。
• 非自明なオイラー類をもつ中心拡張1 → ℤ → Γ → π₁(Σ) → 1 はRFRSでない。なぜなら、中心がRFRS列によって尽きることはないからである。
• G_ψがp-余分類可能であり、φがMod(Σ) → Sp₂g(ℤ/pℤ)の核に属するならば、G_{ψ∘φ}もp-余分類可能である。