[論文レビュー] Rewriting in higher dimensional linear categories and application to the affine oriented Brauer category

Clément Alleaume|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 16被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、線形 (3,2)-多図形に対する書き換え理論を構築し、アフィン向き付きブラウアー圏（AOB）の基本定理に対する構成的証明を提供する。重み関数を導入し、書き換え系の減少性を証明することで、終了性を要件としないまま結合性を確立し、AOBの射空間が、泡を含む通常順序のドット付き向き付きブラウアー図で表される基底を有することを検証する。

ABSTRACT

In this paper, we introduce a rewriting theory of linear monoidal categories. Those categories are a particular case of what we will define as linear (n, p)-categories. We will also define linear (n, p)-polygraphs, a linear adapation of n-polygraphs, to present linear (n -- 1, p)-categories. We focus then on linear (3, 2)-polygraphs to give presentations of linear monoidal categories. We finally give an application of this theory in linear (3, 2)-polygraphs to prove a basis theorem on the category AOB with a new method using a rewriting property defined by van Ostroom: decreasingness.

研究の動機と目的

• 高次元線形圏、特に線形 (n,p)-圏および (n,p)-多図形の書き換え理論を開発すること。
• 書き換え系を用いて、アフィン向き付きブラウアー圏（AOB）の基本定理に対する構成的証明を提示すること。
• AOB の書き換え系に終了性が欠ける問題を、ニューマンの補題が適用できない状況においても、減少性というより強い性質を用いることで克服すること。
• 臨界分岐解析と減少性を用いて、線形 (3,2)-多図形 AOB の結合性を確立し、射空間に一意な正規形が存在することを保証すること。
• 通常順序のドット付き向き付きブラウアー図で表される基底が、AOB の各射空間において線形独立かつ生成的であることを検証すること。

提案手法

• 本稿では、(n−1,p)-圏を提示するための n-多図形の線形版として、線形 (n,p)-圏および線形 (n,p)-多図形を定義する。
• AOBℓ₂ の 2-細胞に複雑さを測るための重み関数 τ を導入し、書き換えを準還元形へ誘導する。
• 書き換え系は、終了性を要件としない結合性の一般化である減少性の性質を用いて分析される。
• 臨界分岐を検討することで局所的結合性を検証し、準還元形への最小の書き換えパス長に基づくwell-Founded順序を用いて、減少性を証明する。
• 2-細胞の書き換えアルゴリズムは、通常順序のドット付き向き付きブラウアー図（泡付き）の線形結合に終了し、正規形が同値を除いて一意であることを保証する。
• 証明は、van Oostrom の定理（減少性が結合性を含意する）を活用し、AOB の結合的提示の構築を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アフィン向き付きブラウアー圏（AOB）に対して、その基本定理の構成的証明を提供する書き換え系を構築可能か？
• RQ2 終了性を欠く書き換え系（AOB の場合）において、結合性をどのように確立できるか？
• RQ3 ニューマンの補題が非終了性のため適用不能な状況において、減少性が結合性の証明に果たす役割は何か？
• RQ4 スライディングおよびアイソトピー 3-細胞は、AOB の書き換え系の結合性にどのように影響するか？
• RQ5 AOB の任意の 2-細胞は、一意な正規形に書き換え可能であり、それは泡を含む通常順序のドット付き向き付きブラウアー図に対応するか？

主な発見

• 線形 (3,2)-多図形 AOB は減少性が証明され、終了性がなくても結合性が成立することが示された。
• AOB の書き換え系は、臨界分岐の分析により局所的結合性であることが確認された。
• AOBℓ₂ の任意の 2-細胞は、準還元形に書き換え可能であり、これは通常順序のドット付き向き付きブラウアー図（泡付き）に対応する。
• 通常順序のドット付き向き付きブラウアー図（泡付き）の基底は、AOB の各射空間において線形独立な生成集合を形成する。
• 準還元形の 2-細胞は、他の準還元形の線形結合に書き換えられないため、正規形の一意性が保証される。
• AOB の結合性は減少性によって確立され、[BCNR14] の基本定理に対する構成的証明が得られた。