[論文レビュー] RG flows on $S^d$ and Hamiltonian truncation

Matthijs Hogervorst|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2018

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 55被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、スカラーQFTの分配関数および相関関数を、$S^d$ 上で非摂動的ハミルトニアン断片化法を用いて計算する手法を提示する。$S^{d-1}$ 上で時間に依存するハミルトニアンを用い、有限状態の断片化を行う。質量のあるスカラー場の$S^3$ 上での解析的$F$係数結果と強い一致を示し、カウンターテルムの改善を経て$i\phi^3$理論のUV有限性についての数値的証拠を提供する。

ABSTRACT

We describe a nonperturbative method to compute the partition function and correlation functions for scalar QFTs set on the $d$-dimensional sphere $S^d$. The method relies on a Hamiltonian picture, where the theory is quantized on $S^{d-1}$ and states evolve in time by means of a time-dependent Hamiltonian. Crucially, the Hilbert space on $S^{d-1}$ is truncated to a finite set of states below a cutoff. Throughout this work we focus on the $ϕ^2$ and $iϕ^3$ flows in three dimensions. In the first part of this paper we analyze the cutoff-dependence of various observables, computing both divergent and RG-improvement counterterms to be added to the action. Next we present nonperturbative results for the massive scalar on $S^3$, finding good agreement in the strong-coupling regime between numerical data and the $F$-coefficient of the free scalar CFT. We also check that the renormalized $i ϕ^3$ theory on $S^3$ is nonperturbatively UV-finite. The scheme in question breaks the $\mathrm{SO}(d+1)$ spacetime symmetry group of $S^d$ down to $\mathrm{SO}(d)$, and in an example we study how the full symmetry is restored in the continuum limit. The relation between our method and earlier work by Al. B. Zamolodchikov involving a specific RG flow on $S^2$ is explained as well.

研究の動機と目的

• $S^d$ 上でのQFT観測量をハミルトニアン断片化を用いて非摂動的に計算する手法の開発。
• $S^3$ 上でのスカラーQFTにおける$\phi^2$および$i\phi^3$相互作用の正則化と切断依存性の研究。
• $i\phi^3$理論のUV有限性の検証および自由スカラーCFTの$F$係数を数値的に再現。
• 連続極限における$\mathrm{SO}(d+1)$時空対称性の回復を分析。
• サマロドチコフによる$S^2$上でのRGフローに関する先行研究と本手法の接続。

提案手法

• $S^{d-1}$ 上でスカラーQFTを時間に依存するハミルトニアンで正準化し、理論を$d-1$次元の量子系として扱う。
• 切断$\Lambda$未満の状態にフォック空間を有限に断片化し、ヒルベルト空間のサイズを制御可能にする。
• 時間スライスを$T \gg 1$個に離散化し、中間状態の和を取ることでDyson演算子$U$を計算。
• 球面幾何と半径方向の依存性を扱うために、モード関数$K_\ell(\tau)$とギーゲンバウワー多項式を用いる。
• 発散を除去し連続極限への収束を改善するためにRG改善型カウンターテルムを適用。
• UVにおける自己同型対称性を活用し、行列要素を制約し、計算効率の向上を図る可能性がある。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $S^{d-1}$ 上でのハミルトニアン断片化は、$S^d$ 上のQFTに対して信頼できる非摂動的結果を提供できるか？
• RQ2 分配関数および相関関数における切断依存性の発散はどのように振る舞い、体系的に除去可能か？
• RQ3 $S^3$ 上の$i\phi^3$理論は、対数的に切断$\Lambda$に依存するローカルカウンターテルムを加えた後もUV有限性を保つのか？
• RQ4 連続極限$\Lambda \to \infty$ において、$\mathrm{SO}(d+1)$時空対称性はどの程度回復するか？
• RQ5 本手法を用いて自由スカラーCFTの$F$係数を数値的に正確に再現できるか？

主な発見

• 本手法は、強い結合領域において数値的データと解析的結果の間で良好な一致を示し、$S^3$ 上の自由スカラーCFTの$F$係数を再現した。
• $S^3$ 上の$i\phi^3$理論に関しては、対数的に切断$\Lambda$に依存するローカルカウンターテルムを加えた後、UV有限性の数値的証拠が得られた。
• $\mathrm{SO}(d+1)$のWard恒等式における$\Lambda$依存性の破れ、特に1点関数$\langle\phi^2\rangle$に対するものは、連続極限$\Lambda \to \infty$ において消える。
• 本手法は$\phi^2$フローを正しく捉えており、既知の解析的期待と一致する結果を示した。
• 本手法は、$\mathbb{R} \times S^{d-1}$とWeyl同値な他の多様体、例えばユークリッドAdS空間やde Sitter空間に対しても一般化可能である。
• 自己同型対称性を組み込むことで、必要な行列要素の数を削減し、計算効率を著しく向上できる可能性がある。