[論文レビュー] Ricci iterations and canonical Kähler-Einstein currents on log canonical pairs

Hajime Tsuji|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2009

Geometry and complex manifolds参考文献 23被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、リッチ反復とバーグマン核の力学的系を用いて、Kawamata対数終票（KLT）対の正則ケーラー＝アインシュタイン接続の極限として、対数一般型の対数正則（LC）対に正則ケーラー＝アインシュタイン接続を構成する。主な結果は、一般次元における家族のLC対の相対的対数正則標準束に関する初の半正定性定理であり、正則測度が半正定性の曲率接続を持つ特異ヘルミート計量を定義することを示している。

ABSTRACT

In this article we construct a canonical Kähler-Einstein current on a LC (log canonical) pairs of log general type as the limit of a sequence of canonical Kähler-Einstein currents on KLT(Kawamata log terminal) pairs of log general type. We call the volume form associated with the canonical Kähler-Einstein current the canonical measure of the LC pair. We prove that the relative canonical measure on a projective family of LC pairs of log general type defines a singular hermitian metric on the relative log canonical bundle and the metric has semipositive curvature in the sense of current. This is the first semipositivity result for relative log canonical bundles of a family of LC pairs in general dimension. Our proof depends on certain Ricci iterations and dynamical systems of Bergman kernels.

研究の動機と目的

• 滑らかな正則偏極多様体からの正則ケーラー＝アインシュタイン計量の構成を、対数一般型の対数正則対へ拡張すること。
• 古典的ホッジ理論が消失定理の失敗により到達できない領域にあるLC対に対して、微分幾何的アプローチを確立すること。
• 家族のLC対において、相対的正則測度の対数プラスビスハーモニック性と半正定性を証明し、川添の半正定性結果を特異的状況に拡張すること。
• 家族のLC対の相対的対数正則標準束に半正定性の曲率を持つ正則計量を提供することにより、モジュライ問題に不可欠な結果を得ること。

提案手法

• KLT対におけるリッチ反復を用いて、LC対を近似する正則ケーラー＝アインシュタイン接続の列を構成する。
• バーグマン核の力学的系を応用して、対数一般型KLT対における正則ケーラー＝アインシュタイン接続を生成する。
• これらの接続の極限に移行することで、LC対における正則ケーラー＝アインシュタイン接続を導出する。
• LC対における極限ケーラー＝アインシュタイン接続の体積形式として正則測度を定義する。
• 相対的正則測度が、接続の意味における半正定性の曲率接続を持つ相対的対数正則標準束上の特異ヘルミート計量を定義することを証明する。
• L^2拡張定理とアーマー特異ラインバンドルの選択を用いて、直接像の全生成性を示し、半正定性結果を支持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対数一般型の対数正則対に、既知のKLT対への結果を拡張して正則ケーラー＝アインシュタイン接続を構成できるか？
• RQ2 LC対における正則測度が、家族の相対的対数正則標準束上に半正定性の曲率を持つ特異ヘルミート計量を誘導するか？
• RQ3 リッチ反復とバーグマン核の力学的系を用いて、KLT対とLC対の間のケーラー＝アインシュタイン接続のギャップを埋められるか？
• RQ4 家族のLC対において、相対的正則測度は対数プラスビスハーモニックか？
• RQ5 微分幾何学的手法を用いて、一般次元におけるLC対の相対的対数正則標準束の直接像の半正定性を確立できるか？

主な発見

• 対数一般型の対数正則対における正則ケーラー＝アインシュタイン接続は、リッチ反復によるKLT対の正則ケーラー＝アインシュタイン接続の極限として存在する。
• 正則ケーラー＝アインシュタイン接続の体積形式は、LC対における正則測度を定義する。
• LC対の射影的家族における相対的正則測度は、接続の意味における半正定性の曲率接続を持つ相対的対数正則標準束上の特異ヘルミート計量を定義する。
• これは、LC対の家族における相対的対数正則標準束の直接像に対する一般次元における初の半正定性結果である。
• この構成はリッチ反復とバーグマン核の力学的系に依存しており、ホッジ理論を超えた微分幾何的アプローチを可能にする。
• 証明はL^2拡張定理とアーマー特異ラインバンドルの選択を用いて、直接像の全生成性を確立し、半正定性の主張を支持する。