[論文レビュー] Right-angled Artin pro-$p$ groups

Ilir Snopce, Pavel Zaleskii|arXiv (Cornell University)|May 4, 2020

Geometric and Algebraic Topology参考文献 30被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、有限な単体的グラフ $\Gamma$ に対して関連する右角アーベルプロ-$p$ 群 $G_{\Gamma}$ が、Bloch-Kato プロ-$p$ 群であるための必要十分条件を確立している。それは $\Gamma$ に $C_4$（4サイクル）または $L_3$（長さ3の経路）の誘導部分グラフを含まない場合に限る。$G_{\Gamma}$ が満たす6つの群論的性質——一貫性、捩れのないアーベル化、$\mathbb{Z}_p$ からの基本的構成、最大のプロ-$p$ ガロア群としての実現可能性、部分群に対する閉包性——の同値性は、Quadrelli と Weigel の予想を裏付け、De Clercq と Florens のスムーズネス予想を検証する。

ABSTRACT

Let $p$ be a prime. The right-angled Artin pro-$p$ group $G_Γ$ associated to a fnite simplicial graph $Γ$ is the pro-$p$ completion of the right-angled Artin group associated to $Γ$. We prove that the following assertions are equivalent: (i) no induced subgraph of $Γ$ is a square or a line with four vertices (a path of length 3); (ii) every closed subgroup of $G_Γ$ is itself a right-angled Artin pro-$p$ group (possibly infinitely generated); (iii) $G_Γ$ is a Bloch-Kato pro-$p$ group; (iv) every closed subgroup of $G_Γ$ has torsion free abelianization; (v) $G_Γ$ occurs as the maximal pro-$p$ Galois group $G_K(p)$ of some field $K$ containing a primitive $p$th root of unity; (vi) $G_Γ$ can be constructed from $\mathbb{Z}_p$ by iterating two group theoretic operations, namely, direct products with $\mathbb{Z}_p$ and free pro-$p$ products. This settles in the affirmative a conjecture of Quadrelli and Weigel. Also, we show that the Smoothness Conjecture of De Clercq and Florens holds for right-angled Artin pro-$p$ groups. Moreover, we prove that $G_Γ$ is coherent if and only if each circuit of $Γ$ of length greater than three has a chord.

研究の動機と目的

• Quadrelli と Weigel が提起した予想を解決する。すなわち、$G_{\Gamma}$ が Bloch-Kato プロ-$p$ 群であるための必要十分条件は、$\Gamma$ が誘導された $C_4$ または $L_3$ の部分グラフを含まないことである。
• すべての有限生成な閉部分群が有限生成表示を持つ、すなわち $G_{\Gamma}$ が一貫性を持つ条件を同定する。
• 右角アーベルプロ-$p$ 群に対して、De Clercq と Florens のスムーズネス予想を検証する。
• 6つの群論的性質——特に最大のプロ-$p$ ガロア群としての実現可能性を含む——の完全な同値性を確立する。
• $\mathbb{Z}_p$ から始めて自由および直積のプロ-$p$ 群を用いて構成可能な $G_{\Gamma}$ の構造的特徴づけを提供する。

提案手法

• プロ-$p$ 群の提示を用いて、$G_{\Gamma}$ を $\Gamma$ に関連する抽象的右角アーベル群のプロ-$p$ 完備化として定義する。
• 部分群のコホモロジー的有限性性質を分析するため、コホモロジーにおける Mayer-Vietoris 列の応用。
• 部分群構造を研究するため、自然な準同型 $f: G_{\Gamma} \to \mathbb{Z}_p$ の核 $K_{\Gamma}$ の構成。
• 木の頂点数に関する帰納法を用いて、$K_T$ が有限ランクの自由プロ-$p$ 群であることを証明する。
• 非弦的グラフの場合の $K_{\Gamma}$ を分析するため、拡大自由プロ-$p$ 群の分解を用いる。
• 既知の二次コホモロジー代数および Bloch-Kato 予想に関する結果を活用し、群論的性質とガロア論的性質を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラフ $\Gamma$ に対して、右角アーベルプロ-$p$ 群 $G_{\Gamma}$ が Bloch-Kato プロ-$p$ 群であるための条件は何か？
• RQ2 すべての有限生成な閉部分群が有限生成表示を持つ、すなわち $G_{\Gamma}$ が一貫性を持つのはいつか？
• RQ3 $G_{\Gamma}$ は $\mathbb{Z}_p$ から自由および直積のプロ-$p$ 群を用いて構成可能か？
• RQ4 $G_{\Gamma}$ は、$p$ 乗根を含む体 $K$ の最大のプロ-$p$ ガロア群 $G_K(p)$ として現れるか？
• RQ5 De Clercq と Florens のスムーズネス予想は、右角アーベルプロ-$p$ 群に対しても成立するか？

主な発見

• 6つの性質——$C_4$ や $L_3$ の誘導部分グラフの非存在、$G_{\Gamma}$ が Bloch-Kato であること、すべての閉部分群のアーベル化が捩れを持たないこと、$G_{\Gamma}$ が $G_K(p)$ として実現可能であること、$\mathbb{Z}_p$ から自由および直積のプロ-$p$ 群を用いて構成可能であること、すべての閉部分群が右角アーベルプロ-$p$ 群であること——はすべて同値である。
• $G_{\Gamma}$ が一貫性を持つのは、$\Gamma$ の長さ4以上のすべてのサイクルがハブを持つ（弦を持つ）場合に限る。
• 有限な木 $T$ に対して、写像 $G_T \to \mathbb{Z}_p$ の核 $K_T$ は、有限ランクの自由プロ-$p$ 群である。
• $\Gamma$ が弦的でない場合、その核の第二コホモロジー群が無限次元であるため、$G_{\Gamma}$ は一貫性を持たないことが示された。
• $\Gamma$ に誘導された $C_4$ または $L_3$ が含まれる場合、$G_{\Gamma}$ は Bloch-Kato プロ-$p$ 群でないことが判明し、Quadrelli と Weigel の予想が裏付けられた。
• De Clercq と Florens のスムーズネス予想は、右角アーベルプロ-$p$ 群に対しても成立する。コホモロジー次元および構造が、予想された条件と整合している。