[論文レビュー] Rigidity properties of full groups of pseudogroups over the Cantor set

Nicolás Matte Bon|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 47被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、カントール集合上の擬群の完全群に対して剛性定理を確立し、それらの群間の任意の準同型が、対応する擬群間の連続的準同型に拡張されることを示している。主な結果は、軌道的グラフ幾何やホモロジーといった動的不変量を用いた埋め込みの特徴付けであり、Higman-Thompson群、区間交換群、片側SFT群への応用により、$ nV $ が $ mV $ に埋め込まれるための必要十分条件が $ n \leq m $ であることが証明された。

ABSTRACT

We show that the (topological) full group of a minimal pseudogroup over the Cantor set satisfies various rigidity phenomena of topological dynamical and combinatorial nature. Our main result applies to its possible homomorphisms into other groups of homeomorphisms, and implies that arbitrary homomorphisms between the full groups of a vast class of pseudogroups must extend to continuous morphisms between pseudogroups (in particular giving rise to equivariant maps at the level of spaces). As applications, we obtain explicit obstructions to the existence of embeddings between full groups in terms of invariants of the underlying pseudogroups (the geometry of their orbital graphs, the complexity function, dynamical homology), and provide a complete descriptions of all homomorphisms within various families of groups including the Higman-Thompson groups (more generally full groups of one sided shifts of finite type), full groups of minimal $\mathbb{Z}$-actions on the Cantor set, and a class of groups of interval exchanges. We next consider a combinatorial rigidity property of groups, which formalises the inability of a group to act on any set with Schreier graphs growing uniformly subexponentially, or more generally not faster than a given function $f(n)$. For the exponential function this is a well-known consequence of property $(T)$. We use full groups to provide a source of examples of groups which satisfy this property but satisfy a strong negation of property $(T)$. A key tool used in the proofs is the study of the dynamics of the conjugation action of groups on their space of subgroups, endowed with the Chabauty topology. In particular we classify the confined and the uniformly recurrent subgroups of full groups.

研究の動機と目的

• カントール集合上の擬群の完全群の間の非埋め込み結果を示す一般枠組みを確立すること。
• このような完全群間の準同型が、対応する擬群間の連続的準同型に拡張される条件を同定すること。
• 軌道的グラフ幾何、複雑度関数、動的ホモロジーといった不変量を用いて、埋め込みの明示的障害を提供すること。
• Chabauty位相を用いて完全群内の閉じた部分群および一様再帰的部分群を分類すること。
• 完全群が性質 (T) を持たないまま強く剛性を示すことができることを示し、シュレーマー・グラフの軌道成長率と関連付けること。

提案手法

• 完全群の作用の力学的性質を調べるために、部分群空間へのChabauty位相を用いる。
• 閉じた部分群および一様再帰的部分群の理論を応用し、擬群の完全群におけるそれらの構造を分類する。
• 拡張定理を用いて、カントール集合上の最小的擬群の完全群間の任意の準同型が、擬群間の連続的準同型に拡張されることを示す。
• 連続的準同型に関して関手的である動的ホモロジー $ H_0 $ を用い、群の埋め込みとホモロジー群の準同型を関連付ける。
• 群oidsのカイリー・グラフの漸近的次元を分析し、準同型に剛性制約を導く。
• MatuiおよびNekrashevychによる交代的完全群と導来部分群に関する結果を応用し、埋め込みの障害を特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カントール集合上の擬群の完全群間の準同型が、対応する擬群間の連続的準同型に拡張される条件は何か？
• RQ2 特に片側シフトの有限型（SFT）の文脈において、完全群間の埋め込みを妨げる動的不変量は何か？
• RQ3 完全群が性質 (T) を満たさないまま強く剛性を示すことは可能か？ また、これはシュレーマー・グラフの軌道成長率とどのように関係するか？
• RQ4 群 $ nV $ が $ mV $ に埋め込まれるための正確な特徴付けは何か？ また、これは対応する群oidsのホモロジーとどのように関係するか？
• RQ5 完全群内の閉じた部分群および一様再帰的部分群は、元の擬群の力学的性質をどのように反映しているか？

主な発見

• カントール集合上の最小的擬群の完全群間の任意の準同型は、対応する擬群間の連続的準同型に拡張され、それにより基になる空間への-equivariant 写像が誘導される。
• 片側SFTの完全群間の埋め込みは、群oidsのホモロジーによって妨げられる：$ \rho: \text{D}(\tilde{\rho}_{\text{SFT}_1}) \to \text{F}(\tilde{\rho}_{\text{SFT}_2}) $ が台 $ Z $ を持つための必要十分条件は、ホモロジー群間の準同型 $ \varphi: H_0(\mathcal{G}_{\Sigma_1}) \to H_0(\mathcal{G}_{\Sigma_2}) $ が存在し、$ \varphi([X_{\Sigma_1}]) = [Z] $ を満たすことである。
• Higman-Thompson群 $ V_{n,1}' $ が $ V_{m,1} $ に埋め込まれ、かつ全固定点を持たないのは、$ m-1 $ が $ n-1 $ を割り切るときであり、そうでない場合はすべてのこのような埋め込みが全固定点を持つ必要がある。
• $ n > m $ であるとき、$ n $ 個と $ m $ 個の非可約片側SFT群oidsの直積について、$ n $ 重積の完全群から $ m $ 重積への任意の準同型は、アーベルな像を持つ。
• 高次元Higman-Thompson群 $ nV $ が $ mV $ に埋め込まれるための必要十分条件は $ n \leq m $ であり、証明は漸近的次元とホモロジーの障害に依拠している。
• 本論文では、性質 (T) を満たさないが、組合せ論的に剛性を持つ、指数的でない軌道成長を示す群の例を構成し、完全群をその出処として用いている。