[論文レビュー] Risk Aversion and Coherent Risk Measures: a Spectral Representation Theorem

Carlo Acerbi|ArXiv.org|Jul 10, 2001

Risk and Portfolio Optimization参考文献 11被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、リスク回避関数 φ(p) を用いた期待ショートフォールの重み付き平均として表現可能な、一貫性のあるリスク測度のスペクトル表現定理を導入する。主な貢献は、一貫性のあるリスク測度と許容可能なリスクスクリプト φ の間の一対一対応を確立したことであり、主観的なリスク回避性を一貫性のあるリスク測度にマッピング可能にするとともに、実装に適した離散的かつ一貫性のある推定器を提供する。

ABSTRACT

We study a space of coherent risk measures M_phi obtained as certain expansions of coherent elementary basis measures. In this space, the concept of ``Risk Aversion Function'' phi naturally arises as the spectral representation of each risk measure in a space of functions of confidence level probabilities. We give necessary and sufficient conditions on phi for M_phi to be a coherent measure. We find in this way a simple interpretation of the concept of coherence and a way to map any rational investor's subjective risk aversion onto a coherent measure and vice--versa. We also provide for these measures their discrete versions M_phi^N acting on finite sets of N independent realizations of a r.v. which are not only shown to be coherent measures for any fixed N, but also consistent estimators of M_phi for large N. Finally, we find in our results some interesting and not yet fully investigated relationships with certain results known in insurance mathematical literature.

研究の動機と目的

• リスク回避関数に基づくスペクトル表現を用いて、一貫性のあるリスク測度を完全に特徴づけること。
• 測度が一貫性を持つためのリスク回避関数 φ に必要な十分条件を特定すること。
• 連続版の連続的極限に一致するように、一貫性があり、有限標本でも使用可能な離散的スペクトルリスク測度のバージョンを開発すること。
• 金融リスク管理における一貫性の概念と、保険科学分野で確立された概念との関連を明らかにすること。
• シナリオベースのリスク管理システムへの一貫性のあるリスク測度の実装を可能にする実用的フレームワークを提供すること。

提案手法

• 信頼水準 p ∈ [0,1] における積分として定義されるリスク測度の空間 Mϕ を、Mϕ(X) = ∫₀¹ φ(p) F⁻¹_X(p) dp を用いて定義する。
• Mϕ が一貫性を持つのは、φ が非負、非増加、可積分（φ ∈ L¹([0,1]) かつ ∫₀¹ φ(p) dp = 1）であるとき、かつそのときに限ることを確立する。
• N 個の独立したシナリオを用いた離散近似 Mϕ^(N) を導入し、重みを φi = φ(i/N) / ∑ₖ φ(k/N) とすることで、有限 N に対しても一貫性を保証する。
• E[X⁺] < ∞, E[X⁻] < ∞, かつ sup φ(p) < ∞ を満たす弱い可積分性条件のもとで、N → ∞ のとき Mϕ^(N) がほとんど確実に Mϕ に収束することを証明する。
• スペクトル表現を用いて、任意の合理的な投資家の主観的リスク回避性を φ(p) を通じて一貫性のあるリスク測度に変換可能であることを示す。
• Empirical process theory の結果（例：[11] の定理 3.1）を活用し、離散推定器の一貫性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数 φ(p) にどのような条件を課すと、スペクトルリスク測度 Mϕ が一貫性を持つようになるか？
• RQ2 すべての一貫性のあるリスク測度は、スペクトル関数 φ を用いて期待ショートフォールの重み付き平均として表現可能か？
• RQ3 N 個のシナリオに基づく離散的リスク測度 Mϕ^(N) をどのように構築すれば、連続極限との一貫性と一貫性を両立できるか？
• RQ4 スペクトルリスク測度フレームワークと、保険科学分野で既存の概念との関係は何か？
• RQ5 任意の合理的な投資家の主観的リスク回避性は、φ(p) を用いて一貫性のあるリスク測度に符号化可能か？

主な発見

• リスク測度 Mϕ が一貫性を持つのは、そのスペクトル関数 φ が [0,1] 上で非負、非増加、可積分であり、かつ ∫₀¹ φ(p) dp = 1 であるとき、かつそのときに限る。
• スペクトル表現 Mϕ(X) = ∫₀¹ φ(p) F⁻¹_X(p) dp は、すべての一貫性のあるリスク測度を完全に特徴づける。
• N 個の独立したシナリオに基づく離散的リスク測度 Mϕ^(N) は、重み φi が正規化されており、φ が非増加である限り、任意の有限 N に対して一貫性を持つ。
• 離散的測度 Mϕ^(N) は Mϕ の一貫性推定器であり、E[X⁺] < ∞, E[X⁻] < ∞, かつ sup φ(p) < ∞ を満たす条件下で、N → ∞ のときほとんど確実に Mϕ に収束する。
• このフレームワークにより、任意の主観的リスク回避プロファイルが φ(p) を通じて一貫性のあるリスク測度に符号化可能であり、特定の選択肢に偏りがない。
• スペクトル表現と保険科学分野の結果（特に参考文献 [12] の定理 4）との深い関連が明らかとなり、共通の基礎的原則を有していることが示唆された。