[論文レビュー] Robust calibration and arbitrage-free interpolation of SSVI slices

Pierre Cohort, Jacopo Corbetta+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、各期限スライスをフォワード・アット・ザ・マネーニessポイントにアンカリングし、ベータ・アービテージやカルーザー・スプレッド・アービテージを回避する再パラメータライゼーションを用いることで、拡張型SSVI（eSSVI）ボラティリティ・サーフェス・モデルに対するロバストでアービテージフリーなキャリブレーション手法を提示する。主な貢献は、キャリブレーション済みパラメータの単純な区分線形補間／外挿が、アービテージ条件を保持することであり、高速で単純かつ信頼性の高いボラティリティ・サーフェス構築が可能になることである。

ABSTRACT

We describe a robust calibration algorithm of a set of SSVI slices (i.e. a set of 3 SSVI parameters $θ, ρ, φ$ attached to each option maturity available on the market), which grants that these slices are free of Butterfly and Calendar-Spread arbitrage. Given such a set of consistent SSVI parameters, we show that the most natural interpolation/extrapolation of the parameters provides a full continuous volatility surface free of arbitrage. The numerical implementation is straightforward, robust and quick, yielding an effective, parsimonious solution to the smile problem, which has the potential to become a benchmark one.

研究の動機と目的

• 期限間におけるベータ・アービテージおよびカルーザー・スプレッド・アービテージの存在を保証するeSSVIパラメータのロバストなキャリブレーションアルゴリズムの開発。
• スライス・パラメータの補間／外挿後に、得られるボラティリティ・サーフェスが連続的かつアービテージフリーであることを保証すること。
• 市場観測オプション・プライスから、モデルフリーな方法で完全なアービテージフリーなボラティリティ・サーフェスを構築する計算効率の高い手法の提供。
• リスク管理および歴史的サーフェス再構築のための、パラメータの効率的保存と再利用を可能にすること。

提案手法

• 各SSVIスライスを $(\rho, \psi)$ のペアで再パラメータライズし、$\psi = \theta \varphi$ と定義する。スライスをフォワード・マネーニessに最も近い市場データ点 $(k^*, \theta^*)$ にアンカリングすることで、キャリブレーションの安定性を向上させる。
• 最適化に1次元のBrent法を適用し、複雑なブラックボックス・ソルバを回避することで、キャリブレーションのロバスト性を確保する。
• 明示的な制約を用いてアービテージなしを強制する：$\theta_t \varphi(\theta_t) \leq \frac{4}{1+|\rho|}$ および $\theta_t \varphi(\theta_t)^2 \leq \frac{4}{1+|\rho|}$。これらはベータ・アービテージの存在を保証する。
• 期限間で $\theta_t$, $\rho_t$, および $\psi_t$ の区分線形補間を適用し、これがアービテージなし条件を保持することを証明済みである。
• 短期外挿には $\theta_t = \lambda \theta_1$, $\psi_t = \lambda \psi_1$, $\rho_t = \rho_1$ で $\lambda = t/T_1$ とし、短い期間でのアービテージなしと連続性を保証する。
• 長期外挿には、$u(T_N) = 0$ を満たす連続的かつ増加関数 $u(t)$ を用い、$\theta_t = \theta_N + u(t)$, $\psi_t = \psi_N$, $\rho_t = \rho_N$ と定義することで、長期におけるアービテージなしを維持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 eSSVIスライスのためのロバストで1次元最適化に基づくキャリブレーションを設計可能か。これにより、ベータ・アービテージおよびカルーザー・スプレッド・アービテージの存在が保証されるか。
• RQ2 eSSVIパラメータを期限間で単純な区分線形補間すると、得られる完全なボラティリティ・サーフェスにアービテージが存在しないか。
• RQ3 短中期および長期の外挿スキームを構築可能か。これにより、期限ゼロにおけるオプション・プライス関数の連続性が保たれるとともに、アービテージなし条件が維持されるか。
• RQ4 得られるeSSVIサーフェス構築手法は、計算的に効率的かつ市場メイキングおよびリスク管理における実用的応用に適しているか。

主な発見

• フォワード・マネーニess近辺の信頼性の高い市場データにスライスをアンカリングする $\rho$ と $\psi = \theta \varphi$ を用いた再パラメータライゼーションは、キャリブレーションの安定性を著しく向上させる。
• キャリブレーションに1次元Brent法を用いることで、計算効率が確保され、高次元最適化で一般的に見られる収束問題を回避できる。
• 期限間で $\theta_t$, $\rho_t$, および $\psi_t$ の区分線形補間がアービテージなし条件を保持することは、単純な補間スキームにおいては非自明かつ顕著な結果である。
• 短期外挿スキーム $\theta_t = \lambda \theta_1$, $\psi_t = \lambda \psi_1$, $\rho_t = \rho_1$ で $\lambda = t/T_1$ とすることで、$t \to 0^+$ におけるアービテージなしと連続性が保証される。
• 関数 $u(t)$ が増加的かつ $u(T_N) = 0$ を満たすように定義した長期外挿 $\theta_t = \theta_N + u(t)$, $\psi_t = \psi_N$, $\rho_t = \rho_N$ は、すべての期限でカルーザー・スプレッド・アービテージなしを維持する。
• 本フレームワーク全体により、パラメータの効率的保存が可能となり、高速かつ信頼性の高い完全なアービテージフリーなボラティリティ・サーフェスの構築が実現され、リスクおよび歴史的分析における保存・再利用に適している。