[論文レビュー] Robust periodic stability implies uniform exponential stability of Markovian jump linear systems and random linear ordinary differential equations

Xiongping Dai|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2013

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 46被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、離散時間マルコフ跳躍線形系および周期軌道による閉じ込みを有する半流で駆動される確率的線形ODEに対して、頑健な周期的安定性が一様指数的安定性を意味することを確立している。周期軌道によるリャプノフ指数の近似と、線形力学系におけるShantao Liaoの摂動技法を用いて導出された、新たなGel'fand-Berger-Wangの公式を用いて、著者らは、頑健な周期的安定性と一様指数的安定性の同値性を証明し、線形コサイクル理論におけるスペクトルの有限性と頑健性に関する長年の未解決問題を解決した。

ABSTRACT

In this paper we show that if a linear cocycle is robustly periodical stable then it is uniformly stable.

研究の動機と目的

• 離散時間マルコフ跳躍線形系における頑健な周期的安定性と一様指数的安定性の同値性を確立すること。
• この同値性を、周期軌道による閉じ込みを有する半流で駆動される確率的線形ODEへと拡張すること。
• 周期軌道構造を有する力学系上での線形コサイクル理論における、スペクトルの有限性と頑健性条件に関する未解決問題を解消すること。
• 周期軌道によるリャプノフ指数の近似を用いて、マルコフ跳躍系に適したGel’fand-Berger-Wangの公式を構築すること。
• 線形コサイクル理論におけるスペクトルの有限性の予想と頑健性条件に対する反例を構成すること。

提案手法

• 周期軌道によるリャプノフ指数の近似を用いて、マルコフ跳躍線形系のGel’fand-Berger-Wangの公式を導出する。
• 微分力学系におけるShantao Liaoの摂動技法を応用し、確率的線形ODEにおける安定性を分析する。
• 半一様エルゴード定理を用いて、連続的スペクトル半径と非崩壊集合および周期軌道上での挙動とを関連付ける。
• エルゴード理論を用いて、周期軌道による閉じ込みを有する力学系上での線形コサイクルの安定性を分析する。
• 線形コサイクルのスペクトルの有限性と、安定性解析における頑健性条件に対する反例を構成する。
• 記号的空間および半流上の位相的・測度論的議論を用いて、一様指数的安定性と頑健な周期的安定性の同値性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散時間マルコフ跳躍線形系において、頑健な周期的安定性は一様指数的安定性を意味するか？
• RQ2 周期軌道による閉じ込みを有する半流で駆動される確率的線形ODEに対し、頑健な周期的安定性と一様指数的安定性の同値性を拡張できるか？
• RQ3 周期軌道構造を有する力学系上での一般線形コサイクルに対して、スペクトルの有限性の性質は成立するか？
• RQ4 遷移行列の非可約性や非周期性の仮定なしに、マルコフ跳躍系に対してGel’fand-Berger-Wangの公式を確立できるか？
• RQ5 線形スイッチング系の安定性解析における頑健性条件の限界は何か？

主な発見

• 離散時間マルコフ跳躍線形系は、遷移行列に追加の仮定を課さずに、一様指数的安定であるための必要十分条件として、頑健な周期的安定性を満たす。
• 周期軌道による閉じ込みを有する半流で駆動される確率的線形ODEに対しては、一様指数的安定性と頑健な周期的安定性が同値である。
• 周期軌道によるリャプノフ指数の近似を用いて、マルコフ跳躍系に新たなGel’fand-Berger-Wangの公式を証明した。
• 周期軌道上の最大ノルムの下界として、周期軌道による閉じ込みを有する系上での線形コサイクルの連続的スペクトル半径が等しい。
• 線形コサイクルに対して、一般にスペクトルの有限性が成立しないことを示す反例を構成した。
• 周期軌道上でのスペクトル半径の一様有界性という頑健性条件は、一様指数的安定性を保証するには不十分であり、安定性基準における微妙な違いを浮き彫りにした。