[論文レビュー] Robustness of critical U(1) spin liquids and emergent symmetries in tensor networks

Henrik Dreyer, Laurens Vanderstraeten+3 more|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2020

Quantum many-body systems参考文献 44被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、場の理論と数値シミュレーションを用いて、テンソルネットワークにおけるU(1)スピン液体および発現対称性のロバスト性を調査する。長距離スイングレットを有する臨界U(1)スピン液体にドーピングすることは、場の理論においては有効な摂動であり、系をギャップ化するが、ギャップの開く速度は極めて遅く、これが先行する数値的観察における長い相関長の理由を説明する。特に、K < 1/2 の条件下で、U(1)対称性を破る摂動のもとにおいて、PEPS波動関数における発現的U(1)対称性の最初の数値的証拠を提示する。

ABSTRACT

We study the response of critical Resonating Valence Bond (RVB) spin liquids to doping with longer-range singlets, and more generally of U(1)-symmetric tensor networks to non-symmetric perturbations. Using a field theory description, we find that in the RVB, doping constitutes a relevant perturbation which immediately opens up a gap, contrary to previous observations. Our analysis predicts a very large correlation length even at significant doping, which we verify using high-accuracy numerical simulations. This emphasizes the need for careful analysis, but also justifies the use of such states as a variational ansatz for critical systems. Finally, we give an example of a PEPS where non-symmetric perturbations do not open up a gap and the U(1) symmetry re-emerges.

研究の動機と目的

• PEPSにおける臨界定常性を維持するためにU(1)量子もつれ対称性が本質的であるのか、それとも摂動のもとで発現的に現れ得るのかを特定すること。
• 場の理論の予測（ギャップの即時開口）と、ドーピングされたRVB状態における数値的観察（長い相関長）の間にある顕著な矛盾を解消すること。
• U(1)対称性が摂動によって破壊された後、PEPSにおいてU(1)対称性が再び現れる条件を同定すること。
• テンソルネットワーク状態における臨界相の安定性を分析するための場の理論的枠組みを提供すること。
• ハミルトニアンにおいて対称性が明示的に破壊されているにもかかわらず、動的にU(1)対称性が発現するPEPSモデルを提示・検証すること。

提案手法

• 転送行列をLuttinger液体として記述する有効場の理論的手法を用い、LuttingerパラメータKを導入する。
• U(1)対称性を破る摂動を、場の理論における有効な演算子として分析し、スケーリング次元は1/Kによって決定する。
• 相関長を最大10^4サイトまで抽出するために、高精度な数値的シミュレーションをコーン・トランスファーマトリクス（CTM）法を用いて実施する。
• 相関長のドーピング強度依存性を定量的に予測するために、sine-Gordonモデルを用いる。
• K < 1/2 を満たす磁場hを有する6頂点モデルを用いて、U(1)対称性の発現を可能にするPEPSを構築する。
• U(1)対称性によって関連づけられる演算子の相関関数を数値的に測定し、同一のべき則的減衰によって発現的対称性を検出する。

Figure 1: (a) RVB and dimer model. Numbers in the plaquettes are the height potential $h(\vec{x})$ obtained from the $\mathrm{U}(1)$ Gauss law (red). (b) PEPS tensor for the RVB state. The green line is the identity on the $\{\left|0\right\rangle,\left|1\right\rangle\}$ space, and all rotations are

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 臨界PEPS波動関数におけるU(1)対称性は、臨界定常性を維持するために本質的であるのか、それとも摂動のもとで動的に発現しうるのか？
• RQ2 なぜドーピングされたRVB状態の数値的シミュレーションでは、ギャップが即時に開くと場の理論が予測するにもかかわらず、長い相関長が観測されるのか？
• RQ3 U(1)対称性が摂動によって明示的に破壊された後、PEPSにおいてU(1)対称性が再び現れる条件は何か？
• RQ4 LuttingerパラメータK < 1/2 は、PEPSの赤外限界においてU(1)対称性の発現をもたらすか？
• RQ5 テンソルネットワーク状態において、発現的U(1)対称性を検出するための数値的シグネチャは何か？

主な発見

• 長距離スイングレットを有するRVB状態へのドーピングは、場の理論において有効な摂動であり、即時にギャップを開くはずであるが、これは以前の数値的観察とは相反する。
• 摂動のスケーリング次元が小さいため、ギャップは極めてゆっくりと開く。このため、シミュレーションで観測された長い相関長（最大10^4サイト）が説明できる。
• 高精度なCTMシミュレーションにより、相関長が10^4のオーダーであることが確認され、sine-Gordonモデルの予測と一致する。
• K < 1/2 の場合、U(1)対称性を破る摂動は系をギャップ化せず、U(1)対称性によって関連づけられた演算子の相関関数は同じべき則的減衰を示す。
• h = 0.48（K = 0.435）におけるU(1)関連相関関数の同一の減衰スケーリングの数値的証拠が得られ、赤外領域における発現的U(1)対称性を示唆する。
• 本研究は、U(1)対称性が摂動によって破壊されているにもかかわらず、K < 1/2 の6頂点モデルPEPSにおいて、PEPSにおける発現的U(1)対称性の最初の観測を達成した。

Figure 2: Luttinger parameter $K$ obtained via different methods: $\mathbb{E}_{Q}$ and vison correlators ( $K_{\mathbb{E}_{Q}}$ , $K_{\mathrm{vison}}$ ), and finite size extrapolation ( $L=6,8$ ) of the transfer matrix spectrum ( $K_{\mathrm{TM}}$ ). The good agreement up to $\lambda\approx 0.5$ is