[論文レビュー] Root Refinement for Real Polynomials

Michael Kerber, Michael Sagraloff|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2011

Polynomial and algebraic computation参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

この論文では、平方自由多項式の実根の包摂区間を $2^{-L}$ の精度に高めるための証明可能アルゴリズム Aqir を提示する。適応的で近似的な算術を用いることで、2次区間精錬を区間算術による検証と作業精度制御と組み合わせることで、理論的最良境界にほぼ一致する近似的なビット複雑度 $ ilde{O}(d(dar{\Gamma}}_f + \.Sigma_f)^2 + dL)$ を達成する。実装が単純で実用的である。

ABSTRACT

We consider the problem of approximating all real roots of a square-free polynomial $f$. Given isolating intervals, our algorithm refines each of them to a width of $2^{-L}$ or less, that is, each of the roots is approximated to $L$ bits after the binary point. Our method provides a certified answer for arbitrary real polynomials, only considering finite approximations of the polynomial coefficients and choosing a suitable working precision adaptively. In this way, we get a correct algorithm that is simple to implement and practically efficient. Our algorithm uses the quadratic interval refinement method; we adapt that method to be able to cope with inaccuracies when evaluating $f$, without sacrificing its quadratic convergence behavior. We prove a bound on the bit complexity of our algorithm in terms of the degree of the polynomial, the size and the separation of the roots, that is, parameters exclusively related to the geometric location of the roots. Our bound is near optimal and significantly improves previous work on integer polynomials. Furthermore, it essentially matches the best known theoretical bounds on root approximation which are obtained by very sophisticated algorithms. We also investigate the practical behavior of the algorithm and demonstrate how closely the practical performance matches our asymptotic bounds.

研究の動機と目的

• 任意の実係数平方自由多項式の実根精錬問題を解く。
• 係数の有限精度近似のみを用いる証明可能で数値的に安定なアルゴリズムを提供する。
• 係数表現の複雑さに依存しない、理論的最適値に近いビット複雑度を達成する。
• 適応的作業精度と区間算術による検証を通じて、実用的効率を確保する。
• 幾何的根パラメータ（分離度、根の境界）が複雑さを決定づけるのではなく、係数構造ではないことを示す。

提案手法

• 多項式評価の近似値と増加する作業精度を用いて、2次区間精錬（QIR）を適応的に拡張する。
• 正しさの検証と証明可能な出力を保証するために、区間算術を用いる。
• 最悪ケースの境界よりも低い精度で成功する可能性がある適応的精度戦略を採用する。
• 二分探索に類似した線形段階と高速収束を示す2次段階に精錬を分割し、正規化を施して2次収束を保証する。
• マラーの境界と導関数の推定値を用いて、必要な精度と収束速度を上限付ける。
• 正規性を保証し、直ちに2次収束を可能にするため、二重幅区間 $\tilde{I}$ を導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単純で証明可能なアルゴリズムが、実根精錬において近似的に最適なビット複雑度を達成できるか？
• RQ2 根精錬の複雑さが係数の複雑さではなく、幾何的根パラメータに依存するか？
• RQ3 適応的精度と近似的算術を用いて、正しさと効率を維持できるか？
• RQ4 正しいかつ効率的な精錬を保証するために必要な最小作業精度は何か？
• RQ5 実際の性能は理論的漸近的境界にどの程度近いか？

主な発見

• アルゴリズムはビット複雑度 $\tilde{O}(d(d\Gamma_f + \Sigma_f)^2 + dL)$ を達成しており、これは近似的に最適で、既知の最良理論的境界と一致する。
• 必要な作業精度は $\tilde{O}(d\Gamma_f + \Sigma_f + L)$ ビットで上限付けられており、係数表現に依存しない。
• 複雑さは幾何的パラメータのみに依存する：根の分離度 $\Sigma_f$、対数的根境界 $\Gamma_f$、および所望の精度 $L$。
• アルゴリズムは頑健で実用的であり、実験結果では正確な類似手法に比べて顕著な高速化が確認された。
• 理論的複雑度境界は、$m = \Theta(d)$ のとき出力の読み込みに $\Theta(dL)$ 操作が必要であるという点でタイトである。
• 二重幅区間 $\tilde{I}$ の使用により正規性が保証され、最初のステップから直ちに2次収束が可能になる。