[論文レビュー] Rotation set and Entropy

Heber Enrich, Nancy Guelman+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2007

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Llibre と MacKay が1991年に示した結果の逆を確立する。2次トーラス上の $C^{1+eta}$ 微分同相写像で、恒等写像にホモトープな場合、写像が位相的トランスティティブかつ非可約であれば、正の位相的エントロピーが成り立つと、回転集合の内部が空でないことを示す。この結果は、特定の位相的制約の下で、力学的複雑性（エントロピー）と幾何的構造（回転集合の内部）を結びつける。

ABSTRACT

In 1991 Llibre and MacKay proved that if $f$ is a 2-torus homeomorphism isotopic to identity and the rotation set of $f$ has a non empty interior then $f$ has positive topological entropy. Here, we give a converselike theorem. We show that the interior of the rotation set of a 2-torus $C^{1+ α}$ diffeomorphism isotopic to identity of positive topological entropy is not empty, under the additional hypotheses that $f$ is topologically transitive and irreducible. We also give examples that show that these hypotheses are necessary.

研究の動機と目的

• Llibre と MacKay が1991年に示した結果の逆を確立すること。この結果は、回転集合に空でない内部が存在するならば、正の位相的エントロピーが成り立つことを示している。
• 2次トーラス上の $C^{1+\alpha}$ 微分同相写像が恒等写像にホモトープである場合、正の位相的エントロピーが回転集合に空でない内部をもたらすかを調査すること。
• この逆が成り立つために必要な最小限の位相的および力学的条件——特に位相的トランスティビティと非可約性——を同定すること。
• 不変集合および位相的構造が回転集合の幾何に果たす役割を明確にすること。

提案手法

• 著者たちは、恒等写像にホモトープな2次トーラス上の $C^{1+\alpha}$ 微分同相写像 $f$ の被覆写像 $\tilde{f}$ の回転集合 $\rho(\tilde{f})$ を分析する。
• 回転集合を、反復写像における平均的変位ベクトルの閉包の共通部分として特徴付ける：$\rho(\tilde{f}) = \bigcap_{i=1}^{\infty} \overline{\bigcup_{n\geq i} \left\{ \frac{\tilde{f}^n(\tilde{x}) - \tilde{x}}{n} \right\}}$。
• 証明は、位相的トランスティビティと非可約性の仮定に基づき、回転集合が線分や点に強制されるような不変集合を除外する。
• Franks と Misiurewicz の結果を応用し、回転集合の内部に存在する有理点が周期点によって実現可能であることを用いる。
• 逆が成り立たないための反例を構成し、位相的トランスティビティと非可約性の仮定が必要であることを示す。
• 吹き出し技術と流れの時間変更を用いて、仮定が満たされない場合に正のエントロピーでも回転集合の内部が空である例を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次トーラス上の $C^{1+\alpha}$ 微分同相写像が恒等写像にホモトープである場合、正の位相的エントロピーが回転集合に空でない内部をもたらすか？
• RQ2 回転集合に空でない内部をもたらすために必要な位相的または力学的条件は何か？
• RQ3 元の定理の仮定よりも弱い仮定の下で、Llibre と MacKay の結果の逆を確立できるか？
• RQ4 不変集合——特に本質的または非自明に埋め込まれた円周——は回転集合の幾何にどのように影響するか？
• RQ5 非可約性は、正のエントロピーがあるにもかかわらず、回転集合が線分や点に限定されないのを防ぐために果たす役割は何か？

主な発見

• 2次トーラス上の $C^{1+\alpha}$ 微分同相写像が恒等写像にホモトープである場合、写像が位相的トランスティティブかつ非可約であれば、エントロピーが正であっても回転集合の内部は空でない。
• この結果は、Llibre と MacKay が1991年に示した定理の逆を提供する。この定理は、回転集合に空でない内部が存在するならば、正の位相的エントロピーが成り立つことを示している。
• 反例により、位相的トランスティビティと非可約性の仮定が必要であることが示されている。これらの仮定が満たされない場合、正のエントロピーであっても回転集合の内部は空である。
• 非自明なホモトピー類に属する不変円周が存在すると、正のエントロピーであっても回転集合の内部が空になることがある。
• 固定点や周期軌道の吹き出し構成により、回転集合がこのような変形で不変であることが示され、一部の正エントロピー写像が内部の空である回転集合を有する理由を説明する。
• 本稿は、一般には回転集合が同相不変量でないことを確認するが、回転集合の内部が空でないという性質は、同位的同相写像の下で不変である。