[論文レビュー] Rough Homogenisation with Fractional Dynamics

Johann Gehringer, Xuemei Li|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2020

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 88被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、分数拡散ノイズによって駆動される二スケール確率系に対する、ルーズパスに基づく均質化理論を構築する。これは、非マルコフ的で長-range依存性を示す設定へと、古典的な拡散均質化理論を拡張するものである。粗い連続性と分数平均化を用いて、有効な運動方程式への収束を確立し、非強混合性で分数オーダーのオーランシュタイン＝ウーレンプ過程を有する速いダイナミクスに対して、極限定理を証明する。明示的な共分散構造を伴う。

ABSTRACT

We review recent developments of slow/fast stochastic differential equations, and also present a new result on Diffusion Homogenisation Theory with fractional and non-strong-mixing noise and providing new examples. The emphasise of the review will be on the recently developed effective dynamic theory for two scale random systems with fractional noise: Stochastic Averaging and `Rough Diffusion Homogenisation Theory'. We also study the geometric models with perturbations to symmetries.

研究の動機と目的

• 分数ノイズ、特に非マルコフ的で非強混合な速いダイナミクスを有する系に対して、古典的な拡散均質化理論を拡張すること。
• 分数 Browm運動と長-range依存性を扱える、ルーズパスに基づく均質化フレームワークを構築すること。
• 加法的関数のための関数的中心極限定理（CLT）を確立し、有効な運動方程式の導出を可能にすること。
• 特に分数ノイズの文脈において、対称性の摂動に対するスローファースト系の幾何的構造を分析すること。
• ウィーナー過程でないプロセス、特に分数的およびボルテラ型カーネルに基づくノイズによって駆動される有効なダイナミクスの新しい例を提供すること。

提案手法

• 均質化において分数 Browm 運動の非半マルコフ的性質を扱うために、ルーズパス位相を用いる。
• 分数的速いダイナミクス下でのスローモード過程の収束を示すために、粗い連続性法を適用する。
• 速い過程の定常性とエルゴード性を用いて、時間積分をブロックに分解する。
• シフト不変性とエルゴード理論的議論を用いて、速い過程を含む二重積分における混合項を制御する。
• バーキホフのエルゴード定理と共分散の減衰推定を用いて、和の項が決定的極限に収束することを示す。
• 速い過程の不変測度に沿った平均化により、非マルコフ的であっても有効なダイナミクスを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 長-range依存性を示す分数量ノイズによって駆動される系に対して、古典的な拡散均質化理論をどのように拡張できるか。
• RQ2 速いダイナミクスが非強混合的で分数量である場合、スローモード過程の収束を保証する条件は何か。
• RQ3 ルーズパスに基づくアプローチは、非マルコフ的速い成分を有する二スケール系に対して、有効なダイナミクスを導出可能か。
• RQ4 速いノイズが分数量オーランシュタイン＝ウーレンプ過程である場合、極限における有効なダイナミクスの構造は何か。
• RQ5 分数ノイズの存在下で、対称性の幾何的摂動は均質化極限にどのように影響するか。

主な発見

• 本稿では、分数量オーランシュタイン＝ウーレンプ過程の加法的関数に対して、関数的中心極限定理（CLT）を確立し、均質化領域における有効なダイナミクスの導出を可能にする。
• スローモード過程の極限は、速い過程の不変測度に沿った平均化によって得られる drift 項と拡散係数を持つ拡散過程に、法則収束する。
• 極限において、有効なダイナミクスが速い過程とは独立であることが示された。これは、速いノイズが非マルコフ的で非強混合であっても同様に成り立つ。
• 収束は、分数量ノイズの Hölder 連続性と時間積分の構造を活用した粗い連続性法によって証明された。
• 二重積分項の極限が、速い過程の共分散構造を含む決定的表現に収束することが示された。
• 本手法は、ボルテラ型カーネル移動平均やその他の非マルコフ的速いダイナミクスにも適用可能であり、標準的なマルコフ的設定を越えて拡張される。