[論文レビュー] Routing and Sorting Via Matchings On Graphs

Avah Banerjee, Dana Richards|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2016

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、グラフ上のマッチングを用いた順列ルーティングおよびソーティングを調査し、任意の連結グラフにおいて、2ステップ以内にルーティングが可能かどうかを判定する多項式時間アルゴリズムを提案する。k≥3の場合、≤kステップでのルーティングを決定することはNP完全であることを証明する一方で、最大次数Δの木に対してO(min(Δ²n, n²))の深さのソーティングネットワークを確立し、特定の木のインスタンスではこれがタイトであることを示す。

ABSTRACT

The paper is divided in to two parts. In the first part we present some new results for the extit{routing via matching} model introduced by Alon et al\cite{5}. This model can be viewed as a communication scheme on a distributed network. The nodes in the network can communicate via matchings (a step), where a node exchanges data with its partner. Formally, given a connected graph $G$ with vertices labeled from $[1,...,n]$ and a permutation $π$ giving the destination of pebbles on the vertices the problem is to find a minimum step routing scheme. This is denoted as the routing time $rt(G,π)$ of $G$ given $π$. In this paper we present the following new results, which answer one of the open problems posed in \cite{5}: 1) Determining whether $rt(G,π)$ is $\le 2$ can be done in $O(n^{2.5})$ deterministic time for any arbitrary connected graph $G$. 2) Determining whether $rt(G,π)$ is $\le k$ for any $k \ge 3$ is NP-Complete. In the second part we study a related property of graphs, which measures how easy it is to design sorting networks using only the edges of a given graph. Informally, extit{sorting number} of a graph is the minimum depth sorting network that only uses edges of the graph. Many of the classical results on sorting networks can be represented in this framework. We show that a tree with maximum degree $Δ$ can accommodate a $O(\min(nΔ^2,n^2))$ depth sorting network. Additionally, we give two instance of trees for which this bound is tight.

研究の動機と目的

• 一般グラフにおけるマッチングを用いたルーティングの計算複雑性に関する未解決問題を解消すること。
• k ≥ 2 の場合に、ルーティング時間 rt(G,π) ≤ k が計算的に tractable かどうかを特定すること。
• 与えられたグラフの辺のみを用いるソーティングネットワークの最小深さを調査すること。
• 最大次数Δに基づいて、木のソーティングネットワーク深さのタイトな境界を確立すること。
• グラフベースのモデルにおけるルーティング時間とソーティングネットワーク深さの関係を調査すること。

提案手法

• 補助グラフにおける完全マッチングの検出に帰着することで、O(n².⁵)時間で rt(G,π) ≤ 2 かどうかを判定する決定的アルゴリズムを提案する。
• 置換のサイクル分解を用いて、2ステップ以内の個別および相互ルーティング可能性を分析する。
• 部分木における再帰的奇数偶数交換手順を用いた構成的アプローチにより、木上のソーティングネットワークを構築する。
• 隣接する部分木を入れ替える段階的処理を実行し、ペブルの移動を追跡する、OddEvenTreeSort と呼ばれる段階ベースのソーティングアルゴリズムを導入する。
• ソーティングに必要な段階数を抑え込むための再帰的関係式 C(n) ≤ C(n/2) + O(min(Δ²n, n²)) を導出する。
• 部分木間のペブル交換の境界と木の分解特性を用いて、O(min(Δ²n, n²)) の深さ境界を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の連結グラフGと置換πに対して、rt(G,π) ≤ 2 が多項式時間で判定可能か？
• RQ2 k ≥ 3 の場合、rt(G,π) ≤ k かどうかを決定する問題はNP完全か？
• RQ3 与えられたグラフGの辺のみを用いるソーティングネットワークの最小深さは何か？
• RQ4 木の最大次数Δに基づいて、ソーティングネットワーク深さを境界づけられるか？
• RQ5 木のソーティングネットワークに対して、O(Δn)の深さを達成する構成は存在するか？

主な発見

• 任意の連結グラフGに対して、rt(G,π) ≤ 2 はO(n².⁵)の決定的時間で解ける。
• k ≥ 3 の場合、rt(G,π) ≤ k かどうかを決定する問題はNP完全である。
• 最大次数Δの木は、深さO(min(Δ²n, n²))のソーティングネットワークを有する。
• この境界は、パスグラフPₙおよびスターバリューグラフK₁,ₙ₋₁を含む特定の木のインスタンスにおいてタイトである。
• OddEvenTreeSortアルゴリズムは、MP順序で任意の入力に対してO(min(Δ²n, n²))段階でソーティングを達成する。
• 再帰的関係式 C(n) ≤ C(n/2) + O(min(Δ²n, n²)) は、任意の木に対してソーティングネットワーク深さがO(min(Δ²n, n²))で抑えられることを示唆する。