[論文レビュー] $S$-duality of $u(1)$ gauge theory with $ heta =\pi$ on non-orientable manifolds: Applications to topological insulators and superconductors

Max A. Metlitski|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2015

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 19

ひとこと要約

この論文は、非可換多様体上でのu(1)ゲージ理論とθ = π、およびTまたはCT対称性による時間反転対称性のS双対性を、RP⁴における分配関数の計算を用いて確立する。2つの理論の分配関数が同一であることを示し、θ = πにおけるゲージ化されたトポロジカル絶縁体（クラスAII）とゲージ化されたトポロジカル超伝導体（クラスAIII）がS双対であるという予想を支持する。

ABSTRACT

Electric-magnetic duality ($S$-duality) is a well-known property of pure $u(1)$ gauge theory in 3+1 dimensions. In this paper, we investigate the compatibility of this duality with time-reversal symmetry. We consider two theories obtained by coupling a Dirac fermion with an "inverted" sign of the mass $m$ to a $u(1)$ gauge field. Time-reversal in the two theories is implemented respectively via the $T$ and $CT$ symmetries of the Dirac fermion. It was recently conjectured (C. Wang and T. Senthil (arXiv:1505.03520), and M. Metlitski and A.Vishwanath (arXiv:1505.05142)) that in the $|m| o \infty$ limit these two theories are $S$-dual to each other. We provide support for this conjecture by studying partition functions of the two theories on non-orientable manifolds as a way to probe the realization of time-reversal. Upon integrating out the Dirac fermion, topological terms in the actions of the two theories are generated. While on an orientable manifold topological terms in both theories reduce to a $ heta$-term with $ heta = \pi$, on a non-orientable manifold they are distinct. We explicitly compute partition functions of the two theories on the manifold $\mathbb{RP}^4$ and show that they are equal; this result combined with certain physical arguments is sufficient to establish the duality. The two theories can be viewed as a gauged topological insulator in class AII and a gauged topological superconductor in class AIII, and the bulk duality allows us to derive previously conjectured non-trivial symmetric gapped surface states of these phases.

研究の動機と目的

• θ = πにおけるu(1)ゲージ理論におけるS双対性と時間反転対称性の整合性を調査すること。
• TおよびCT時間反転対称性によって実現される2つの異なるフェルミオン理論が互いにS双対であるという予想を検証すること。
• ボトムアップ双対性を用いて、トポロジカル絶縁体および超伝導体の非自明な対称的ギャップを持つ表面状態を導出すること。
• フェルミオン的S双対性において、トポロジカル項およびスピン構造の役割を非可換多様体上で明確にすること。

提案手法

• 非可換多様体RP⁴上でのディラックフェルミオンを伴うu(1)ゲージ理論の分配関数を計算する。
• フェルミオン行列式およびReidemeister torsionを用いて分配関数を計算し、TおよびCT時間反転実現の違いを区別する。
• S双対性下での分配関数の比較を行い、RP⁴上での両理論に対して等価であることを示す。
• 非可換多様体上では、フェルミオンを統合した際のトポロジカル項がTおよびCTの場合で異なるが、全分配関数はS双対性で不変であるという事実に依拠する。
• ボトムアップ双対性を用いて、トポロジカル絶縁体（クラスAII）および超伝導体（クラスAIII）の表面状態を分類する。
• バーンズム分類および解析的 torsion を用いて、分配関数の不変性がトポロジカル不変量に関連することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 TおよびCT時間反転対称性によって実現されるθ = πの2つのu(1)ゲージ理論は、互いにS双対であるか？
• RQ2 トポロジカル項がTおよびCTの場合で異なる非可換多様体上では、S双対性はどのように現れるか？
• RQ3 異なるトポロジカル項があるにもかかわらず、RP⁴における分配関数の等価性によって双対性を確立できるか？
• RQ4 非可換多様体上でのフェルミオン的S双対性において、スピン構造およびラインバンドルの役割は何か？
• RQ5 この双対性は、トポロジカル絶縁体および超伝導体における対称的ギャップを持つ表面状態の存在にどのような意味を持つのか？

主な発見

• TおよびCT時間反転対称性を持つ2つの理論の分配関数は、RP⁴上で等しく、S双対性の強力な証拠を提供する。
• 非可換多様体上では、ディラックフェルミオンを統合した際のトポロジカル項がTおよびCTの場合で異なるが、全分配関数はS双対性で不変のまま保たれる。
• 双対性により、クラスAIIにおけるゲージ化されたトポロジカル絶縁体とクラスAIIIにおけるゲージ化されたトポロジカル超伝導体がθ = πでS双対であることが確認される。
• 分配関数の等価性はReidemeister torsionおよび解析的 torsion に関連しており、後者はRP⁴上での分配関数と一致する。
• 双対性により、これらのトポロジカル位相における非自明な対称的ギャップを持つ表面状態の存在が示唆され、以前の予想と整合的である。
• 非可換多様体上ではグローバルな時間反転対称性が存在しないにもかかわらず、分配関数の構造を通じて双対性が保たれる。