[論文レビュー] Sampling Arbitrary Subgraphs Exactly Uniformly in Sublinear Time

Hendrik Fichtenberger, Mingze Gao+1 more|arXiv (Cornell University)|May 4, 2020

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、度数、近隣、ペア、エッジのサンプリングクエリを用いて、巨大なグラフ $G$ から任意の部分グラフ $H$ を正確に一様にサンプリングする、サブリニア時間のアルゴリズムを提示する。このアルゴリズムは、クエリおよび実行時間の複雑さがそれぞれ $\tilde{O}(\min\{m, m^{\rho(H)}/\#H\})$ および $\tilde{O}(m^{\rho(H)}/\#H)$ であり、$\rho(H)$ は $H$ の分数的エッジ被覆、$\#H$ は $G$ 内の $H$ のコピー数を表す。このため、完全グラフ（クリーク）に対してはほぼ最適である。

ABSTRACT

We present a simple sublinear-time algorithm for sampling an arbitrary subgraph $H$ \emph{exactly uniformly} from a graph $G$ with $m$ edges, to which the algorithm has access by performing the following types of queries: (1) degree queries, (2) neighbor queries, (3) pair queries and (4) edge sampling queries. The query complexity and running time of our algorithm are $ ilde{O}(\min\{m, \frac{m^{ρ(H)}}{\# H}\})$ and $ ilde{O}(\frac{m^{ρ(H)}}{\# H})$, respectively, where $ρ(H)$ is the fractional edge-cover of $H$ and $\# H$ is the number of copies of $H$ in $G$. For any clique on $r$ vertices, i.e., $H=K_r$, our algorithm is almost optimal as any algorithm that samples an $H$ from any distribution that has $Ω(1)$ total probability mass on the set of all copies of $H$ must perform $Ω(\min\{m, \frac{m^{ρ(H)}}{\# H\cdot (cr)^r}\})$ queries. Together with the query and time complexities of the $(1\pm \varepsilon)$-approximation algorithm for the number of subgraphs $H$ by Assadi, Kapralov and Khanna [ITCS 2018] and the lower bound by Eden and Rosenbaum [APPROX 2018] for approximately counting cliques, our results suggest that in our query model, approximately counting cliques is "equivalent to" exactly uniformly sampling cliques, in the sense that the query and time complexities of exactly uniform sampling and randomized approximate counting are within a polylogarithmic factor of each other. This stands in interesting contrast to an analogous relation between approximate counting and almost uniformly sampling for self-reducible problems in the polynomial-time regime by Jerrum, Valiant and Vazirani [TCS 1986].

研究の動機と目的

• 大きなグラフ $G$ から任意の固定部分グラフ $H$ を正確に一様にサンプリングするサブリニア時間アルゴリズムの開発。
• エッジや三角形といった単純な構造を超えて、任意の部分グラフに対する一様サンプリングの課題の解決。
• 一般グラフクエリモデルにおける正確な一様サンプリングのクエリおよび実行時間の複雑さのタイトな境界の確立。
• 正確な一様サンプリングと部分グラフ（特にクリーク）の近似数え上げの関係の探求。

提案手法

• 目的部分グラフ $H$ の分数的エッジ被覆に基づく再帰的分解を用い、分数的エッジ被覆 $\rho(H)$ の概念を活用してサンプリングを誘導する。
• 三段階のプロセスを採用：まず「ワンド」または「スター」構造をサンプリングし、次にそれを拡張して $H$ の完全なコピーを形成する。この際、定数サイズの部分グラフの同型チェックを用いる。
• 潜在的なエッジをサンプリングするためにエッジのクエリを実行し、局所的な近傍を効率的に探索するために度数および近隣クエリを活用する。
• 拒否採用フレームワークを用いて、各 $H$ のコピーが正確に一様確率 $1/\#H$ で選択されることを保証する。
• 分数的エッジ被覆密度 $\rho(H)$ を用いた確率的手続きにより、クエリ複雑さを制限し、サブリニアな性能を保証する。
• 合計エッジ数 $m$ の知識を仮定しているが、$m$ の $(1+\varepsilon)$-近似があれば、精度にわずかなコストをかけるだけでよい。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的なクエリタイプを用いて、巨大グラフ $G$ から任意の部分グラフ $H$ を正確に一様にサンプリングするサブリニア時間アルゴリズムを設計できるか？
• RQ2 一般グラフクエリモデルにおける部分グラフ $H$ の正確な一様サンプリングの最適クエリおよび実行時間の複雑さは何か？
• RQ3 正確な一様サンプリングの複雑さは、特にクリークの近似数え上げ問題とどのように関係するか？
• RQ4 正確な一様サンプリングと近似数え上げの間に、サブリニア時間において根本的な同値性があるか？

主な発見

• アルゴリズムは、任意の部分グラフ $H$ に対して、$\tilde{O}(\min\{m, m^{\rho(H)}/\#H\})$ のクエリ複雑さおよび $\tilde{O}(m^{\rho(H)}/\#H)$ の実行時間複雑さを達成する。
• $r$-クリーク（$H = K_r$）の場合、アルゴリズムの複雑さはほぼ最適であり、$K_r$ のコピーに $\Omega(1)$ の質量を持つ分布からのサンプリングを任意のアルゴリズムが満たす下界と一致する。
• 結果から、与えられたクエリモデルにおいて、正確な一様サンプリングとランダム化された近似数え上げの両方が、クリークに関しては多項対数因子の範囲で複雑さが等しいことが示唆される。
• これは、サブリニア時間において、正確な一様サンプリングと近似数え上げがクリークに関して強い同値性を持つことを示し、多項式時間における古典的 JVV フレームワークとは対照的である。
• アルゴリズムの性能は $m$ の不確実性に対しても頑健であり、$m$ の $(1+\varepsilon)$-近似があれば、$\varepsilon$-近似の一様性を維持できる。
• 解析により、分数的エッジ被覆数 $\rho(H)$ とサンプリング複雑さのタイトな関係が確立され、$\rho(H)$ が効率を支配する主要な構造的パラメータであることが示された。