[論文レビュー] Sampling Distributions of Optimal Portfolio Weights and Characteristics in Low and Large Dimensions

Taras Bodnar, Holger Dette+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Random Matrices and Applications参考文献 57被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、多変量正規分布に従うリターンの下で、低次元および高次元の設定において、最適ポートフォリオの重みおよび特徴のサンプリング分布を修正し、再確立する。修正された確率的表現を用いてグローバル・ミニマム・ボラティリティ（GMV）ポートフォリオ重みを扱い、推定されたポートフォリオ特徴量の漸近的正規性を導出する。高次元漸近的枠組み（p/n → c ∈ [0,1)）において、有効ポートフォリオ重みの漸近的分散-共分散行列の一貫推定量を提供する。主な貢献は、高次元におけるポートフォリオ最適化の厳密で修正された漸近的理論であり、推定重みの極限分布および共分散行列の明示的公式が得られる。

ABSTRACT

Optimal portfolio selection problems are determined by the (unknown) parameters of the data generating process. If an investor wants to realise the position suggested by the optimal portfolios, he/she needs to estimate the unknown parameters and to account for the parameter uncertainty in the decision process. Most often, the parameters of interest are the population mean vector and the population covariance matrix of the asset return distribution. In this paper, we characterise the exact sampling distribution of the estimated optimal portfolio weights and their characteristics. This is done by deriving their sampling distribution by its stochastic representation. This approach possesses several advantages, {e.g.} (i) it determines the sampling distribution of the estimated optimal portfolio weights by expressions, which could be used to draw samples from this distribution efficiently; (ii) the application of the derived stochastic representation provides an easy way to obtain the asymptotic approximation of the sampling distribution. The later property is used to show that the high-dimensional asymptotic distribution of optimal portfolio weights is a multivariate normal and to determine its parameters. Moreover, a consistent estimator of optimal portfolio weights and their characteristics is derived under the high-dimensional settings. Via an extensive simulation study, we investigate the finite-sample performance of the derived asymptotic approximation and study its robustness to the violation of the model assumptions used in the derivation of the theoretical results.

研究の動機と目的

• 小次元および大次元の設定において、最適ポートフォリオ重みおよび特徴のサンプリング分布を修正し、再導出すること。
• 高次元漸近的枠組み（p/n → c ∈ [0,1)）において、グローバル・ミニマム・ボラティリティ（GMV）および有効ポートフォリオ（EU）重みの厳密な漸近的理論を提供すること。
• 元の論文における定理2.1および関連結果、特に推定ポートフォリオ重みベクトル ˆη の確率的表現における誤りを是正すること。
• 高次元ポートフォリオ最適化における推定有効ポートフォリオ重みの漸近的分散-共分散行列の一貫推定量を導出することにより、妥当な推論を可能にすること。

提案手法

• カイ二乗、スチューデントtおよび正規確率変数を用い、条件付き独立構造を持つ、推定GMVポートフォリオ重み（ˆVGMV, ˆRGMV, ˆθ, ˆs, ˆη）の修正された確率的表現を導出する。
• 一次のテイラー展開および連続写像定理を用いて、高次元漸近的枠組みにおける推定有効ポートフォリオ重みの漸近的分布を導出する。
• 補題A.1の修正された確率的表現を適用し、定理2.1およびその結果（定理3.1および系4.1）を再導出する。
• 推定有効ポートフォリオ重みの漸近的共分散行列 ΩL,g を導出し、ポートフォリオのリスク・リターン特性および高次元極限 c = p/n に明示的な依存関係を含める。
• 母集団パrameterの標本類似物を用いて、有効ポートフォリオ重みの漸近的共分散行列の一致推定量 ˆΩL,EU,c を提案する。
• 多変量正規分布および非 centrality カイ二乗近似を用いて、高次元的枠組み下での主要なポートフォリオ特徴量の極限分布を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次元における推定グローバル・ミニマム・ボラティリティポートフォリオ重みの正しい確率的表現は何か？
• RQ2 元の論文における推定誤差が、有効ポートフォリオ重みの漸近的分布に与える影響は何か？
• RQ3 高次元漸近的枠組み下での推定有効ポートフォリオ重みの正しい漸近的共分散行列は何か？
• RQ4 高次元における有効ポートフォリオ重みの漸近的共分散行列の一貫推定量をどのように構築できるか？
• RQ5 修正された確率的表現が、リスク、リターン、重みなどのポートフォリオ特徴量の極限分布に与える影響は何か？

主な発見

• 修正版の定理2.1は、独立なカイ二乗、tおよび正規確率変数を用いた、ˆVGMV, ˆRGMV, ˆθ, ˆs, ˆη の有効な結合的確率的表現を提供する。条件付き独立性を含む。
• 推定有効ポートフォリオ重みの漸近的分布は、平均がゼロで共分散行列が ΩL,g である多変量正規分布に収束する。これは高次元漸近的枠組み（p/n → c ∈ [0,1)）の下で導出される。
• 漸近的共分散行列 ΩL,g は明示的に導出されており、ポートフォリオのリスク（VGMV）、リターン（RGMV）、および最小ボラティリティ・ポートフォリオへの露出（s）を含み、高次元バイアス補正項を含む。
• 有効ポートフォリオ（EU）の特別な場合、漸近的共分散行列は ΩL,EU = [(s+1)/(1−c)² + VGMV]LQL⊤ + γ⁻²s²/(1−c)² ηη⊤ で与えられる。ここで c = p/n である。
• 一貫推定量 ˆΩL,EU,c が提案され、VGMV, s, η の標本類似物を用い、ˆsc = (n−p)/n (ˆs − p/(n−p)) を用いて高次元設定におけるバイアスを補正する。
• 修正版の系4.1は、ˆs および ˆη の漸近的分散が、c および非 centrality パrameter µ⊤Aµ を含む項によって調整されることを示し、高次元推定バイアスの影響を反映する。