[論文レビュー] Sasaki-Einstein 5-manifolds associated to toric 3-Sasaki manifolds

Craig van Coevering|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2006

Geometry and complex manifolds参考文献 57被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、3-サスキーの作用の作用の生成関数の零点を用いて、トーリックな3-サスキー多様体からサスキー・アインシュタイン5次元多様体を構成し、この構成が複素Stiefel多様体 $ V_{2,3}^\mathbb{C} $ に微分同相であることを示している。これにより、トーリック幾何とシンプレクティック減少を用いて、サスキー・アインシュタイン5次元多様体のクラスが実現される。

ABSTRACT

We give a correspondence between toric 3-Sasaki 7-manifolds S and certain toric Sasaki-Einstein 5-manifolds M. These 5-manifolds are all diffeomorphic to k#(S^2 imes S^3), where k=2b_2(S)+1, and are given by a pencil of Sasaki embeddings of M in S and are given concretely by the zero set of a component of the 3-Sasaki moment map. It follows that there are infinitely many examples of these toric Sasaki-Einstein manifolds M for each odd b_2(M)>1. As an application of the proof of the above, we prove that the local deformation space of ASD structures on a compact toric ASD Einstein orbifold is given by Joyce ansatz conformal metrics.

研究の動機と目的

• トーリックな3-サスキー構造からサスキー・アインシュタイン5次元多様体を構成すること。
• 3-サスキーの作用の生成関数の零点の幾何を分析すること。
• 零点と複素Stiefel多様体 $ V_{2,3}^\mathbb{C} $ の間の微分同相を確立すること。
• シンプレクティックおよび接触幾何的手法を用いて、得られる5次元多様体がサスキー・アインシュタイン的であることを示すこと。

提案手法

• 3-サスキー多様体の作用の生成関数を用いて、11次元球面内のレベル集合（零点）を定義する。
• 3-サスキー構造に対してシンプレクティック減少を適用し、5次元のサスキー・アインシュタイン多様体を抽出する。
• 零点を $ \mathbb{C}^3 $ 内の複素2-フレームの空間であるStiefel多様体 $ V_{2,3}^\mathbb{C} $ に同定する。
• 整数3-テンソル $ \mathbf{p} \in \mathbb{Z}^3 $ を用いて、トーリック幾何を用いて構成をパラメトライズする。ここで $ p_i \neq 0 $ かつ $ i \neq j $ に対して $ \gcd(p_i, p_j) = 1 $ である。
• 構成における正規化を固定するため、$ p_i > 0 $ の条件を用いる。
• 既知の $ V_{2,3}^\mathbb{C} $ の微分同相型を用いて、得られる5次元多様体の位相型を結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トーリックな3-サスキー多様体から、サスキー・アインシュタイン5次元多様体を体系的に構成することは可能か？
• RQ2 11次元球面内の3-サスキー作用の生成関数の零点の微分同相型は何か？
• RQ3 互いに素な成分をもつ整数3-テンソル $ \mathbf{p} \in \mathbb{Z}^3 $ が、得られるサスキー・アインシュタイン構造に与える影響は何か？
• RQ4 作用の生成関数の零点は、$ V_{2,3}^\mathbb{C} $ のような既知の複素多様体と自然に同定可能か？
• RQ5 この構成によって、どのような幾何的および位相的性質が保存されるか？

主な発見

• 3-サスキー作用の生成関数の零点は、$ \mathbb{C}^3 $ 内の複素2-フレームの空間である複素Stiefel多様体 $ V_{2,3}^\mathbb{C} $ に微分同相である。
• 得られる5次元多様体は、周囲の3-サスキー幾何からサスキー・アインシュタイン構造を引き継ぐ。
• 構成は、非ゼロ成分および対ごとに互いに素な項をもつ整数3-テンソル $ \mathbf{p} \in \mathbb{Z}^3 $ でパラメトライズされる。
• 正規化条件 $ p_i > 0 $ により、各同値類における一意な代表元が保証される。
• サスキー・アインシュタイン5次元多様体は、生成関数の正則なレベル集合として得られ、その滑らかさおよび $ S^{11} $ 内の埋め込みが確認される。
• $ V_{2,3}^\mathbb{C} $ への同定により、得られる5次元多様体の明確な位相的および複素幾何的モデルが得られる。