[論文レビュー] Scaling limits of disordered systems and disorder relevance

Francesco Caravenna, Rongfeng Sun+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2016

Theoretical and Computational Physics参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、不純物の関連性と不純物系における非自明な確率的連続極限の存在との間の関係を確立する。弱い不純物とゼロに近い格子間隔の下でのスケーリング極限を分析することで、特に2次元の指向性高分子およびピンニングモデルにおいて、臨界定在不純物関連性における普遍的転移を特定する。この転移は、スケーリング不純物強度 $ \hat{\beta}_c = 1$ で発生する。このフレームワークにより、臨界点および自由エネルギーの振る舞いの鋭い漸近的解析が可能になる。

ABSTRACT

We review recent works where we have shown that disorder relevance is closely related to the existence of non-trivial, random continuum limits

研究の動機と目的

• 不純物統計力学モデルにおける非自明な確率的連続極限の存在と不純物関連性を結びつける新しいフレームワークを確立すること。
• ハリス基準が不確かになる臨界定在ケース $\nu = 2/d$ を、スケーリング極限を用いて分析すること。
• 離散モデルとその連続的対応物を結びつけることで、ピンニングおよび指向性高分子モデルにおける臨界点の鋭い漸近的評価を導出すること。
• 2次元における弱い不純物と強い不純物の間の転移が、普遍的臨界スケーリング不純物強度 $\hat{\beta}_c = 1$ で発生することを示すこと。
• 連続極限の適用範囲を拡大し、特に臨界定在モデルにおいて定量的な相図情報の抽出を可能にすること。

提案手法

• 異方的スケーリングを持つ格子 $\Omega_\delta$ 上に純粋な統計力学モデルを定義し、平均が0で分散が1である独立同分布の $\omega_x$ を用いてクエンチ不純物を導入する。
• ハミルトニアン $\sum_x (\beta\omega_x + h)\sigma_x$ を持つ不純物ギブス測度 $\mathbb{P}^\omega_{\Omega_\delta;\beta,h}$ を定義し、分配関数 $Z^\omega_{\Omega_\delta;\beta,h}$ を定義する。
• $k$-点相関関数 $\psi^{(k)}_{\Omega_\delta}$ が、$\delta^{-\gamma k}$ のべき則スケーリングの下で $L^2(\Omega^k)$ で極限 $\boldsymbol{\psi}^{(k)}_\Omega$ に収束すると仮定し、条件 (1.5) を用いて減衰を制御する。
• 制限された相関関数 $\boldsymbol{\psi}^{(k)}_\Omega$ を用いて、連続極限の分配関数 $\boldsymbol{Z}^W_{\Omega;\hat{\beta},\hat{h}}$ を級数として構成する。
• 連続極限の分配関数の収束を用いて、弱い不純物および小さな $\beta$ の極限における離散モデルの自由エネルギーと相転移を分析する。
• スケーリング極限を通じて、離散モデルの臨界点 $h_c(\beta)$ と連続自由エネルギー $\mathbf{F}(\hat{\beta}, \hat{h})$ の間の定量的関係を確立し、極限 $\lim_{\beta \to 0} \beta^{-2\alpha/(2\alpha-1)} \widetilde{L}(1/\beta)^{-1} h_c(\beta)$ の存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非自明な確率的連続極限の存在は、不純物系における不純物関連性を意味するか？
• RQ2 ハリス基準が失敗する臨界定在ケース $\nu = 2/d$ では、何が起こるか？
• RQ3 スケーリング極限フレームワークは、2次元不純物系における弱い不純物と強い不純物の間の普遍的相転移を明らかにできるか？
• RQ4 連続極限は、ピンニングモデルにおける臨界点 $h_c(\beta)$ の鋭い漸近的評価を導出するためにどのように利用できるか？
• RQ5 臨界定在高分子モデルにおける弱い不純物と強い不純物の間の転移に、普遍的臨界値 $\hat{\beta}_c = 1$ が存在するか？

主な発見

• 非自明で確率的な連続極限の存在は、臨界定在ケース $\nu = 2/d$ において不純物関連性と同値であり、不純物関連性の新たな基準を提供する。
• 2次元の指向性高分子では、スケーリング不純物強度を $\hat{\beta}/\mathbf{R}_N$ としてスケーリングするとき、弱い不純物と強い不純物の間の普遍的転移が $\hat{\beta}_c = 1$ で発生する。
• 再生指数 $\alpha \in (1/2,1)$ のピンニングモデルにおいて、臨界点は $h_c(\beta) \sim \beta^{2\alpha/(2\alpha-1)} \widetilde{L}(1/\beta)$ を満たし、極限 $\lim_{\beta \to 0} \beta^{-2\alpha/(2\alpha-1)} \widetilde{L}(1/\beta)^{-1} h_c(\beta)$ が存在し、$\mathbf{h}_c(\hat{\beta})$ に等しい。
• 適切なスケーリングの下で、離散モデルの自由エネルギーは連続モデルの自由エネルギーに収束し、極限 $\mathbf{F}(\hat{\beta}, \hat{h}) = \lim_{\beta \to 0} F(\beta, \beta^{2\alpha/(2\alpha-1)} \widetilde{L}(1/\beta)^{-1} \hat{h}) / \beta^{2/(2\alpha-1)} \widetilde{L}(1/\beta)^2$ が成り立つ。
• 本フレームワークは、1次元指向性高分子（$\lim_{\beta \to 0} \beta^{-4} f(\beta)$）および2次元ランダム場イジング模型（$\lim_{h \to 0} h^{-1/15} \langle \sigma_0 \rangle_{\beta_c, h}$）に対しても同様の普遍的極限が存在すると示唆しており、その値は連続自由エネルギーによって決定される。
• 定理3.1における定量的評価は、スケーリング極限と極限の交換の有効性を確認しており、$\delta$ が小さいとき、$\mathbf{F}(\hat{\beta}, \hat{h} - \eta) \leq \delta^{-1} F(\hat{\beta} \delta^{\alpha - 1/2} L(1/\delta), \hat{h} \delta^{\alpha} L(1/\delta)) \leq \mathbf{F}(\hat{\beta}, \hat{h} + \eta)$ が成り立つ。