[論文レビュー] Scaling limits of general population processes - Wright-Fisher and branching processes in random environment

Vincent Bansaye, Maria-Emilia Caballero+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2018

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、確率的環境下における離散的集団過程のスケーリング極限を統一的な枠組みで扱い、特性の収束を用いてジャンプ付き拡散過程を導出する。古典的ワイト＝フィッシャー過程およびギャルトン＝ワトソン過程を独立同分布の確率的環境へと拡張し、新規の関数解析的手法およびラプラス指数法を用いて、弱収束によるジャンプ付きSDEへの収束を証明する。

ABSTRACT

Our motivation comes from the large population approximation of individual based models in population dynamics and population genetics. We propose a general method to investigate scaling limits of finite dimensional population size Markov chains to diffusion with jumps. The statements of tightness, identification and convergence in law are based on the convergence of suitable characteristics of the transition of the chain and strongly exploit the structure of the population processes defined recursively as sums of independent random variables. These results allow to reduce the convergence of characteristics of semimartingales to analytically tractable functional spaces. We develop two main applications. First, we extend the classical Wright-Fisher diffusion approximation to independent and identically distributed random environment. Second, we obtain the convergence in law of generalized Galton-Watson processes with interactions and random environment to the solution of stochastic differential equations with jumps.

研究の動機と目的

• 確率的環境下における有限次元マルコフ連鎖のスケーリング極限を導出する一般的手法の開発。
• 独立同分布の確率的環境下における古典的ワイト＝フィッシャーおよびギャルトン＝ワトソン過程の拡張。
• 一般化された集団過程がジャンプ付き拡散SDEに弱収束することを、特性の収束を用いて確立。
• 従来のマルティンゲール問題および緊張性手法の制限を克服するため、テスト関数のための新しい関数空間の導入。
• 個々の事象の独立構造と、独立同分布の確率変数の和に対するラプラス指数技術の活用。

提案手法

• マルコフ連鎖に関連する半マルティンゲールの特性の収束に基づく、新たな収束基準の提案。
• 零で消失する正則関数に強く稠密な関数空間 H を用い、ノルムが ||H|| = sup_u ||H(u)/(1∧|u|²)||_∞ と同値となるように定義。
• プロセスの増分における独立的かつ非負の確率変数の和に対して、ラプラス指数の特徴付けを適用。
• ジャンプ成分を扱い、収束を保証するために、テスト関数に対する切断および平滑化戦略を導入。
• 時間スケーリング v_N → ∞ と正規化 Z_{[v_N t]}^N / N を用いて、拡散極限を導出。
• ドリフト、拡散、ジャンプ成分からなる三重の特性の漸近的挙動に基づく、緊張性および弱収束の議論に依拠。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的ワイト＝フィッシャー拡散近似は、独立同分布の確率的環境へと拡張可能か？
• RQ2 確率的環境下の一般化されたギャルトン＝ワトソン過程が、ジャンプ付き拡散SDEに収束する条件は何か？
• RQ3 従属的またはマルコフ的でない構造を持つ集団過程は、その遷移核の特性を用いてどのように特徴付けられるか？
• RQ4 ジャンプおよび確率的環境が存在する状況で、関連するマルティンゲール問題の収束を保証するテスト関数の関数空間は何か？
• RQ5 分岐性を緩和しても、依然として連続状態過程にジャンプを伴って収束するか？

主な発見

• N → ∞ のとき、スケーリングされた集団過程の系列 (Z_{[v_N t]}^N / N : t ≥ 0) は弱収束してジャンプ付き拡散過程に収束する。
• 極限SDEは、(v_N, L^N) から導かれる極限三重特性によって特徴付けられ、ラムベールの枠組みを非分岐的かつ非安定過程へ一般化する。
• 環境および個々の事象の分布に対して、やや弱いモーメントおよび正則性条件のもとで収束が成立する。
• 特化された関数空間 H を用いることで、強いモーメント仮定を回避でき、ノルムが ||H|| = sup_u ||H(u)/(1∧|u|²)||_∞ と定義される。
• 従来のCSBP極限を超えて、爆発的かつ非安定な極限過程をも効果的に扱える。
• 技術的補題により、ラプラス指数の差の一様収束性およびジャンプ成分の有界性が確立され、緊張性および極限の同定が保証される。