[論文レビュー] Scenery entropy as an invariant of RWRS processes

Tim Austin|arXiv (Cornell University)|May 6, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 34被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、確率的ランダムウォーク・ランダムスカイア（RWRS）過程における同型不変量としてのスカイア・エントロピーを導入し、多数の例において、これがスカイア過程のコルモゴロフ＝シンアイエントロピーを捉えることを証明する。局所時間の不変性原理を仮定することで、異なるスカイア・エントロピーが連続的無限個の非同型な非ベルヌーイK自己同型を生じることを示し、このような系を区別する強固な不変量を確立する。

ABSTRACT

Probabilistic models of random walks in random sceneries give rise to examples of probability-preserving dynamical systems. A point in the state spaces consists of a walk-trajectory and a scenery, and its `motion' corresponds to shifting the time-origin. These models were proposed as natural examples of non-Bernoulli K-automorphisms by Adler, Ornstein and Weiss. This was proved in a famous analysis by Kalikow using Ornstein's Very Weak Bernoulli characterization of Bernoulli processes. Since then, various authors have generalized this construction to give other examples, including some smooth examples due to Katok and Rudolph. However, the methods used to prove non-Bernoullicity do not obviously show that these examples are distinct from one another. This paper introduces a new isomorphism-invariant of probability-preserving systems, and shows that in a large class of the above examples it essentially captures the Kolmogorov-Sinai entropy of the scenery process alone. As a result, constructions that use different scenery-entropies give continuum-many non-isomorphic examples. Conditionally on an invariance principle for certain local times, these include a continuum of distinct smooth non-Bernoulli K-automorphisms on a fixed compact manifold.

研究の動機と目的

• ランダムウォーク・ランダムスカイア（RWRS）過程から生じる測度保存型力学系の新しい同型不変量を同定すること。
• 従来の手法では解決できなかった、RWRSを用いて構成された非ベルヌーイK自己同型を区別するという未解決問題に取り組むこと。
• 特定の条件下でスカイア・エントロピーが、これらの系の同型類に対して完全な不変量として機能することを示すこと。
• 特に滑らかで高次元の設定において、既存の不変量を超えてRWRS系の分類を拡張すること。

提案手法

• 積空間 $\{\pm1\}^\mathbb{Z} \times C^\mathbb{Z}$ における軌道とスカイアのパッキングに基づく新しい幾何的不変量を提案し、ハミング距離と測度集中を用いる。
• スカイア関数 $F_c$ でインデックス付けられた成分に測度 $\rho_N$ を分解する分析を行う。これらは、スカイア写像によるウォーク測度のプッシュフォワードである。
• このような $F_c$-グラフの数に対する組合せ的推定を用いて、指数的に集中する成分の数の上界を確立する。
• 指数的集中を仮定したもとで、このような成分の数とスカイア・エントロピー $h(\mu,S)$ を関連付ける条件付き測度の議論を適用する。
• 局所時間の推測される不変性原理を用いて、不変量の主要項の成長が $\exp(2R h(\mu,S) \sqrt{N})$ に一致することを正当化し、これによりスカイア・エントロピーと結びつける。
• スカイア・エントロピーが異なる場合、それらの系が非同型であることが示され、固定されたコンact多様体上に連続的無限個の異なる非ベルヌーイK自己同型が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スカイア・エントロピーは、RWRS過程に対して完全な同型不変量として機能するか。特に、非ベルヌーイK自己同型を区別できるか。
• RQ2 パッキングと集中に基づく提案された幾何的不変量は、大N極限において漸近的にスカイア・エントロピーを反映するか。
• RQ3 この不変量は、滑らかまたは高次元のランダムウォーク、例えば $\mathbb{Z}^2$ 上のものへどの程度拡張可能か。
• RQ4 同一のスカイア・エントロピーを持つが、同型型が異なる系が存在するか。その場合、より強い不変量の必要性が示唆される。
• RQ5 カルニコウの元来の議論が失敗する系、例えば $p$-安定または非再帰的ランダムウォークにおいて、不変量は区別可能か。

主な発見

• スカイア・エントロピー $h(\mu,S)$ は、局所時間の条件付き不変性原理を仮定すれば、広範なRWRS過程のクラスにおいて同型不変量であることが示された。
• 新しい不変量は漸近的に $\exp(2R h(\mu,S) \sqrt{N})$ のように成長し、測度 $\rho_N$ における指数的に集中する成分の数と一致する。
• 異なるスカイア・エントロピーを持つ系は非同型であることが証明され、固定されたコンパクト多様体上に連続的無限個の異なる非ベルヌーイK自己同型が得られた。
• この方法により、このような成分の数が $\exp(\mathrm{O}(\sqrt{N}))$ で上から抑えられ、主要項は $h(\mu,S)$ によって決定されることが示された。
• 従来の不変量（例えば非常に弱いベルヌーイ性）が非同型性を検出できない系において、本手法は新たな区別ツールを提供する。
• 予想では、不変量は $p$-安定ウォークや $\mathbb{Z}^2$-値ウォークへ一般化可能であるが、後者は過去と未来の記憶を保持するという性質を失う可能性があり、これにより新たな不変量の必要性が示唆される。