[論文レビュー] Schémas de Hilbert invariants et théorie classique des invariants

Ronan Terpereau|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 41被引用数 4

ひとこと要約

本学位論文は、GL(V)、O(V)、SO(V)、Sp(V) による表現空間上の作用に関連する不変ヒルベルト多様体と古典的不変体理論の関係を調査している。幾何学的不変体理論と等変な準同型を用いて、ヌルコーンおよびヒルベルト多様体の成分を分類し、特に低次元表現において、正規性、コーエン・マカウレイ性、特異点集合を証明している。

ABSTRACT

Let W be an affine variety equipped with an action of a reductive group G. The invariant Hilbert scheme is a moduli space which classifies the G-stable closed subschemes of W such that the affine algebra is the direct sum of simple G-modules with previously fixed finite multiplicities. In this thesis, we first study the invariant Hilbert scheme, denoted H. It parametrizes the GL(V)-stable closed subschemes Z of W=n1 V \oplus n2 V^* such that k[Z] is isomorphic to the regular representation of GL(V) as GL(V)-module. If dim(V)<3, we show that H is a smooth variety, so that the Hilbert-Chow morphism γ: H -> W//G is a resolution of singularities of the quotient W//G. However, if dim(V)=3, we show that H is singular. When dim(V)<3, we describe H by equations and also as the total space of a homogeneous vector bundle over the product of two Grassmannians. Then we consider the symplectic setting by letting n1=n2 and replacing W by the zero fiber of the moment map μ: W -> End(V). We study the invariant Hilbert scheme H' which parametrizes the subschemes included in μ^{-1}(0). We show that H' is always reducible, but that its main component Hp' is smooth if dim(V)<3. In this case, the Hilbert-Chow morphism is a resolution of singularities (sometimes a symplectic one) of the quotient μ^{-1}(0)//G. When dim(V)=3, we describe Hp' as the total space of a homogeneous vector bundle over a flag variety. Finally, we get similar results when we replace GL(V) by some other classical group (SL(V), SO(V), O(V), Sp(V)) acting first on W=nV, then on the zero fiber of the moment map.

研究の動機と目的

• 古典的群の有限次元表現に関連する不変ヒルベルト多様体の構造を研究すること。
• 特に GL(V)、O(V)、SO(V)、Sp(V) による表現空間上の群作用のヌルコーンを分析すること。
• ヌルコーンおよび関連多様体の既約成分、特異点集合、および幾何的性質（正規性、コーエン・マカウレイ性）を特定すること。
• ヌルコーンの幾何と古典的不変体理論の間の関係を、特に低次元の場合に確立すること。
• 商空間 W/G の特異点の解消としてのヒルベルト多様体の振る舞いを調査すること。

提案手法

• 不変体理論およびボレル部分群の作用を用いて、ヒルベルト多様体からグラスマン多様体への等変な準同型を構成する。
• 特に SL(V) および GL(V) の場合に、ヒルベルト多様体の研究を簡略化するための還元の原理を適用する。
• シンプレクティック作用の文脈において、モーメント写像と商準同型を分析する。特に、群作用における μ⁻¹(0) に注目する。
• 明示的な行列表示とランク条件を用いて、低次元の場合（dim V = 2, 3, 4）のヌルコーンの成分を定義し、それらを研究する。
• イデアル、根、および一次分解といった代数的道具を用いて、ヌルコーンの被約構造および既約性を特定する。
• ファイバー積分解体および交線論といった幾何的技法を用いて、特異点集合および余次元を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GL(V)、O(V)、SO(V)、Sp(V) が V⊕n₁ ⊕ V*⊕n₂ または μ⁻¹(0) 上に作用する場合、ヌルコーン Z₀ の既約成分は何か？
• RQ2 ヌルコーンおよびヒルベルト多様体の特異点集合はどのように振る舞い、さまざまな場合における余次元は何か？
• RQ3 ヒルベルト多様体またはヌルコーンが正規、コーエン・マカウレイ、または被約である条件は何か？
• RQ4 W/G の特異点の解消としての不変ヒルベルト多様体 Hilbᴳ(W) の構造は何か？
• RQ5 ヌルコーンの成分どうしの交わりはどのように構造を持ち、その次元および特異点の型は何か？

主な発見

• dim(V) = 2 で GL(V) が V⊕n₁ ⊕ V*⊕n₂ 上に作用する場合、ヌルコーン Z₀ は2つの既約成分を持ち、それらの交わりは原点でのみ特異な3次元の錐である。
• dim(V) = 3 で GL(V) が V⊕n₁ ⊕ V*⊕n₂ 上に作用する場合、ヌルコーン Z₀ は次元9の8つの既約成分の和集合であり、すべて正規かつコーエン・マカウレイ的である。
• dim(V) = 2 で O(V) および SO(V) が V⊕n′ 上に作用する場合、ヌルコーン Z₀ は被約でなく、非被約イデアルによって定義される2つの「太い直線」の和集合である。
• dim(V) = 4 で Sp(V) が V⊕n′ 上に作用する場合、状況5において、ヌルコーン Z は正規かつコーエン・マカウレイ的で、既約な多様体であり、特異点集合の余次元は3である。
• ヌルコーン Z₀ の特異点集合は、その既約成分同士の pairwise な交わりの和集合であり、ほとんどの研究事例において Z₀ 内で余次元1である。
• dim(V) = 3 で状況3および4の場合、スキーム Z_i は既約ではあるが被約でなく、被約構造は正規かつコーエン・マカウレイ的であり、原点でのみ特異である。