[論文レビュー] Schrödinger operators with complex singular potentials

Vladimir Mikhailets, Volodymyr Molyboga|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2013

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、一様空間 $ H_{\text{unif}}^{-1}(\mathbb{R}) $ 内の複素数値ポテンシャルを持つ1次元シュレーディンガー作用素の、複数の定義の同値性および自己共役性を確立し、滑らかなポテンシャルによるノルム作用素近似を証明するとともに、スペクトルが複素平面内の放物型領域に局在することを示し、分布的ポテンシャルに関する先行研究における空白を解消する。

ABSTRACT

We study one-dimensional Schrödinger operators $\mathrm{S}(q)$ on the space $L^{2}(\mathbb{R})$ with potentials $q$ being complex-valued generalized functions from the negative space $H_{unif}^{-1}(\mathbb{R})$. Particularly the class $H_{unif}^{-1}(\mathbb{R})$ contains periodic and almost periodic $H_{loc}^{-1}(\mathbb{R})$-functions. We establish an equivalence of the various definitions of the operators $\mathrm{S}(q)$, investigate their approximation by operators with smooth potentials from the space $L_{unif}^{1}(\mathbb{R})$ and prove that the spectrum of each operator $\mathrm{S}(q)$ lies within a certain parabola.

研究の動機と目的

• 文献[10]における実数値 $ H_{\text{unif}}^{-1}(\mathbb{R}) $ ポテンシャルを持つシュレーディンガー作用素の自己共役性に関する不完全な証明を解消すること。
• 従来の作用素（最小、フリードリッヒス、形式和、最大）の定義が完全に統合されていなかった複素数値ポテンシャル $ H_{\text{unif}}^{-1}(\mathbb{R}) $ への理論の拡張。
• 複素数 $ q \in H_{\text{unif}}^{-1}(\mathbb{R}) $ に対して、作用素 $ \mathrm{S}_0(q) $, $ \mathrm{S}(q) $, $ \mathrm{S}_{\text{fs}}(q) $, $ \mathrm{S}_F(q) $ が一致し、$ m $-セクターラルであることを確立すること。
• 滑らかなポテンシャルをもつ近似作用素 $ \mathrm{S}(q_n) $ が、$ L_{\text{unif}}^1(\mathbb{R}) $ 内の $ q_n $ に対して、極限作用素 $ \mathrm{S}(q) $ へノルム作用素収束することを証明すること。
• ポテンシャルノルムと正則性パラメータに基づき、$ \mathrm{S}(q) $ のスペクトルが複素平面内で正確にどの放物型領域に含まれるかを特定すること。

提案手法

• 正則化法を用いて、$ q = Q' + \tau $ とおくとき、$ Q, \tau \in L_{\text{unif}}^2(\mathbb{R}) \times L_{\text{unif}}^1(\mathbb{R}) $ であるならば、$ \mathrm{S}(q)y = -(y' - Qy)' - Qy' + \tau y $ により $ \mathrm{S}(q) $ を定義する。
• 形式和法およびフリードリッヒス拡張を用いて作用素の代替定義を導出し、$ m $-セクターラル性と定義域の一致を用いてそれらの同値性を証明する。
• 作用素近似技術を用い、$ \|q - q_n\|_{H^{-1}(0,1)} \to 0 $ ならば $ \mathrm{S}(q_n) \to \mathrm{S}(q) $ がノルム作用素収束することを示す。
• 前最小作用素の数値範囲に関する推定を用いてスペクトル局在を導出し、スペクトルに対するセクターラルおよび放物型境界を得る。
• 変分推定 $ |t_q[u]| \leq a\varepsilon\|u'\|^2 + b\varepsilon^{-s}\|u\|^2 $ を用い、$ a, b, s $ を用いてスペクトルの虚部を評価する。
• 抽象的定理13を適用し、ポテンシャルの正則性パラメータに依存する明示的な放物型領域 $ \mathcal{M}_{a,b,s} $ を導出し、それらがスペクトルを含むことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素数値ポテンシャルをもつ $ H_{\text{unif}}^{-1}(\mathbb{R}) $ において、最小作用素 $ \mathrm{S}_0(q) $、フリードリッヒス作用素 $ \mathrm{S}_F(q) $、形式和作用素 $ \mathrm{S}_{\text{fs}}(q) $、および最大作用素 $ \mathrm{S}(q) $ は同値であるか？
• RQ2 分布的ポテンシャルをもつシュレーディンガー作用素 $ H_{\text{unif}}^{-1}(\mathbb{R}) $ は、$ L_{\text{unif}}^1(\mathbb{R}) $ 内の滑らかなポテンシャルをもつ作用素によってノルム作用素収束の意味で近似可能か？
• RQ3 このようなポテンシャルに対して、$ \mathrm{S}(q) $ のスペクトルは複素平面内でどのように正確に局在化されるか？
• RQ4 ポテンシャル分解 $ q = Q' + \tau $（$ Q \in L_{\text{unif}}^2(\mathbb{R}) $, $ \tau \in L_{\text{unif}}^1(\mathbb{R}) $）のノルムに依存するスペクトル境界はどのように変化するか？
• RQ5 実数値ポテンシャルに対する二次形式 $ (\mathrm{S}(q)u, u) $ の実部の下界は何か？また、それはポテンシャルの全 Variation にどのように依存するか？

主な発見

• すべての $ q \in H_{\text{unif}}^{-1}(\mathbb{R}) $ に対して、作用素 $ \mathrm{S}_0(q) $, $ \mathrm{S}(q) $, $ \mathrm{S}_{\text{fs}}(q) $, $ \mathrm{S}_F(q) $ は $ m $-セクターラルであり一致する。これは文献における基礎的空白を解消する。
• $ \mathrm{S}(q) $ のスペクトルは、ポテンシャルの分解から得られるパラメータ $ a, b, s $ で明示的に定義された放物型領域 $ \mathcal{M}_{a,b,s} \subset \mathbb{C} $ 内に存在する。
• $ Q \in \mathrm{BV}_{\text{loc}}(\mathbb{R}) $ かつ単位区間 $ I $ で $ |q(I)| \leq K_0 $ を満たすポテンシャル $ q = Q' $ の場合、スペクトルは $ \left\{ \lambda \in \mathbb{C} \,\middle|\, |\mathrm{Im}\,\lambda| \leq 16K_0(\mathrm{Re}\,\lambda + (8K_0+1)^2)^{1/2} \right\} $ に含まれる。
• 前最小作用素 $ \mathrm{S}_{00}(q) $ の数値範囲は、$ K $ と $ \varepsilon $ に依存する明示的な境界をもつセクター $ \mathcal{S}_{K,\varepsilon} $ に含まれ、セクターラル性が保証される。
• 実数値ポテンシャルの場合、二次形式は $ K \geq 1/2 $ のとき $ (\mathrm{S}(q)u, u) \geq -32K^4\|u\|^2 $ を満たし、$ K < 1/2 $ のとき $ \geq -4K\|u\|^2 $ を満たす。ここで $ K $ は $ Q $ の全 Variation を上から抑える定数である。
• $ \|q - q_n\|_{H^{-1}(0,1)} \to 0 $ ならば、$ \mathrm{S}(q_n) \to \mathrm{S}(q) $ がノルム作用素収束する。これは、近似における作用素の安定性を確認する。