[論文レビュー] Schur-class multipliers on the Fock space: de Branges-Rovnyak reproducing kernel spaces and transfer-function realizations

Joseph A. Ball, Vladimir Bolotnikov+1 more|ArXiv.org|Oct 20, 2006

Holomorphic and Operator Theory参考文献 30被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、Fock空間上における非可換なde Branges-Rovnyak再生核ヒルベルト空間の類似物を導入し、Fock空間上の任意のシュールクラス乗数が、状態空間 $\mathcal{H}(K_S)$ において一意に観測可能でコアイソメトリックな伝達関数実現を持つことを確立している。主な貢献は、内部シュールクラス乗数の実現論的特徴付けと、所望の左零点構造を持つような乗数を構成するための計算体系の確立であり、左および右の両バージョンにおいて対称的に定式化されており、古典的単変数ケースに密接に類似している。

ABSTRACT

We introduce and study a Fock-space noncommutative analogue of reproducing kernel Hilbert spaces of de Branges-Rovnyak type. Results include: use of the de Branges-Rovnyak space ${\mathcal H}(K_{S})$ as the state space for the unique (up to unitary equivalence) observable, coisometric transfer-function realization of the Schur-class multiplier $S$, realization-theoretic characterization of inner Schur-class multipliers, and a calculus for obtaining a realization for an inner multiplier with prescribed left zero-structure. In contrast with the parallel theory for the Arveson space on the unit ball ${\mathbb B}^{d} \subset {\mathbb C}^{d}$ (which can be viewed as the symmetrized version of the Fock space used here), the results here are much more in line with the classical univariate case, with the extra ingredient of the existence of all results having both a ``left'' and a ``right'' version.

研究の動機と目的

• Fock空間設定におけるde Branges-Rovnyak再生核ヒルベルト空間の非可換類似物を構築すること。
• Fock空間上のシュールクラス乗数を、観測可能でコアイソメトリックな伝達関数実現を用いて特徴づけること。
• 非可換Fock空間フレームワーク内における内部シュールクラス乗数の実現論的特徴づけを提供すること。
• この設定において、所望の左零点構造を持つ内部乗数を実現するための計算体系を構築すること。

提案手法

• 著者らは、Fock空間上でのシュールクラス乗数 $S$ の伝達関数実現の状態空間として、de Branges-Rovnyak空間 $\mathcal{H}(K_S)$ を定義する。
• ユニタリなコラボレーション $\mathbf{U} = \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix}$ を用いたコアイソメトリックな伝達関数実現形 $S(z) = D + C(I - Z(z)A)^{-1}Z(z)B$ を用いる。
• 入力ペア $({\mathbf{Z}}, X)$ から導かれる出力ペア $(C, \mathbf{A})$ を用いて実現を構成する。ここで $\mathbf{Z}^*$ は強く安定であり、$X$ は等長写像である。
• コアイソメトリックなコラボレーション $\mathbf{U}$ を得るため、演算子 $\begin{bmatrix} B \\ D \end{bmatrix}$ のコーシー因数分解を適用する。
• $\mathcal{M}_{\mathbf{Z},X} = \ker \mathcal{C}_{\mathbf{Z},X}$ が内部乗数 $\theta$ に対して $\theta \cdot H^2_{\mathcal{U}}(\mathcal{F}_d)$ に等しいことを示し、$\mathcal{H}(K_{\theta}) = \mathcal{H}(K_{C,\mathbf{A}})$ の等長埋め込みを用いる。
• 左および右の構造間の双対性が常に保持されており、左および右の実現に対して対称的な定式化がなされている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 de Branges-Rovnyak空間は、Fock空間設定においてどのように非可換化され、シュールクラス乗数論を支えることができるか？
• RQ2 Fock空間上でのシュールクラス乗数の、一意に観測可能でコアイソメトリックな伝達関数実現は何か？
• RQ3 非可換な文脈において、内部シュールクラス乗数は実現論を用いてどのように特徴づけられるか？
• RQ4 Fock空間設定において、所望の左零点構造を持つ内部乗数を実現するための計算体系を構築できるか？
• RQ5 Fock空間の場合の結果が、アーヴェソン空間設定と比較して、なぜ古典的単変数ケースにより密接に類似しているのか？

主な発見

• 任意のシュールクラス乗数 $S$ に対して、$\mathcal{H}(K_S)$ は、一意に観測可能でコアイソメトリックな伝達関数実現の状態空間として機能する。
• すべてのシュールクラス乗数 $S$ は、コアイソメトリックなコラボレーション $\mathbf{U} = \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix}$ を用いた伝達関数実現 $S(z) = D + C(I - Z(z)A)^{-1}Z(z)B$ を持つ。
• 内部シュールクラス乗数 $\theta$ は、コアイソメトリックなコラボレーションの伝達関数として実現され、適切な入力ペア $({\mathbf{Z}}, X)$ に対して $\theta \cdot H^2_{\mathcal{U}}(\mathcal{F}_d) = \ker \mathcal{C}_{\mathbf{Z},X}$ が成り立つ。
• 所望の左零点構造を持つ内部乗数の実現は、劣化演算子 $I - \begin{bmatrix} A \\ C \end{bmatrix}\begin{bmatrix} A^* & C^* \end{bmatrix}$ のコーシー因数分解によって達成される。
• $\mathcal{H}(K_{\theta})$ は $\mathcal{H}(K_{C,\mathbf{A}})$ に等長的に等しいことが示され、この空間は $\operatorname{Ran} \mathcal{O}_{C,\mathbf{A}}$ と一致する。この空間は $H^2_{\mathcal{Y}}(\mathcal{F}_d)$ に等長的に埋め込まれる。
• 結果は左および右の定式化において対称的であり、古典的単変数ケースに密接に類似した双対性を反映している。アーヴェソン空間設定とは異なり、この性質が顕著に現れる。