[論文レビュー] SDEs with critical time dependent drifts: strong solutions

Michael Röckner, Guohuan Zhao|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2021

Navier-Stokes equation solutions参考文献 48被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、臨界Lebesgue空間に属する時間に依存する漂い係数をもつ非一様時間SDEの一意的強い解の可解性を確立し、長年の未解決問題を解決する。Wiener-Sobolev空間におけるコンパクト性基準を用いて、Ladyzhenskaya-Prodi-Serrin条件を満たす下で解の存在、一意性、正則性を証明する。応用として確率的ナビエ＝ストークス系およびMalliavin微積分への応用が示される。

ABSTRACT

Based on a compactness criterion for random fields in Wiener-Sobolev spaces, in this paper, we prove the unique strong solvability of time-inhomogeneous stochastic differential equations with drift coefficients in critical Lebesgue spaces, which gives an affirmative answer to a longstanding open problem. As an application, we also prove a regularity criterion for solutions of a stochastic system proposed by Constantin and Iyer (Comm. Pure. Appl. Math. 61(3): 330-345, 2008), which is closely related to the Navier-Stokes equations.

研究の動機と目的

• 時間に依存する漂い係数が臨界Lebesgue空間に属するSDEの、長年の未解決問題である一意的強い可解性を解消すること。
• Ladyzhenskaya-Prodi-Serrin条件の下で、関連する確率的フローの正則性特性を確立すること。
• ナビエ＝ストークス方程式に関連する確率的系の解に対する正則性基準を提供すること。
• SDEに特異な漂い係数をもつ場合に、Malliavin微積分およびWienerchaos分解の適用範囲を拡張すること。

提案手法

• 特異な漂い係数を取り扱うために、Wiener-Sobolev空間における確率的場のための新規なコンパクト性基準を構築する。
• Ladyzhenskaya-Prodi-Serrin条件を適用：$ \frac{d}{p_1} + \frac{2}{q_1} = 1 $ かつ $ p_1, q_1 \in (2,\infty) $ で、臨界的可積分性を保証する。
• 確率的フローの推定とフローの勾配に関するモーメントバウンドを用いて、弱微分可能性を証明する。
• Malliavin微積分およびWienerchaos分解を用いて、解フローの高階微分を制御する。
• Gronwall型不等式を用いて、時間的および空間的 Hölder 継続性を制御する。
• Fokker-Planck-Kolmogorovアプローチを通じて、SDEの解とKolmogorov方程式との間の関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SDE $ X_{s,t}^x = x + \int_s^t b(r,X_{s,r}^x)\,dr + W_t - W_s $ が $ b \in \mathbb{L}^{p_1}_{q_1}(T) $ かつ $ \frac{d}{p_1} + \frac{2}{q_1} = 1 $ の下で一意的強い解をもつか？
• RQ2 臨界的漂い係数可積分性の下で、確率的フロー $ \{X_{s,t}^x\} $ が弱微分可能であることが示せるか？
• RQ3 空間的および時間的 Hölder 継続性の観点から、フローの正則性推定はどのようなものか？
• RQ4 ナビエ＝ストークス方程式に関連する確率的系の解が、臨界的漂い係数条件下で正則性基準を満たすか？
• RQ5 端点ケース $ p_1 = d, q_1 = \infty $ が、追加の発散なしまたはノルムが小さいという仮定の下で強い解に拡張可能か？

主な発見

• SDEは、臨界的Ladyzhenskaya-Prodi-Serrin条件 $ b \in \mathbb{L}^{p_1}_{q_1}(T) $ かつ $ \frac{d}{p_1} + \frac{2}{q_1} = 1 $、$ p_1, q_1 \in (2,\infty) $ の下で一意的強い解をもつ。
• 解は推定 $ \sup_x \mathbb{E}\left(\int_s^T f(t,X_{s,t}^x)\,dt\right) \leq C\|f\|_{\widetilde{\mathbb{L}}^p_q(s,T)} $ を満たす。ただし $ \frac{d}{p} + \frac{2}{q} < 2 $。
• 確率的場 $ \{X_{s,t}^x\} $ は、弱微分可能な確率的フローを形成し、$ \sup_{s,t} \int_{\mathbb{R}^d} \mathbb{E}|\nabla X_{s,t}^x - I|^r \,dx < \infty $ が $ r \in [2,\infty) $ に対して成り立つ。
• フローは空間的および時間的 Hölder 継続性を満たす：$ \mathbb{E}|X_{s_1,t_1}^{x_1} - X_{s_2,t_2}^{x_2}|^r \leq C(|x_1 - x_2|^{r-d} + |s_1 - s_2|^{\beta(r-d)} + |t_1 - t_2|^{\beta r}) $ が $ r > d $、$ \beta \in (0,\frac{1}{2}) $ に対して成り立つ。
• ナビエ＝ストークス方程式に関連する確率的系の解は、同じ漂い係数条件下で正則性基準を満たす。
• フローの高階微分はモーメントバウンドを満たす：すべての $ r \geq 1 $ に対して $ \sup_x \mathbb{E}\sup_{s \in [t,0]} |\nabla^2 X_{t,s}^x|^r < \infty $。