[論文レビュー] Second Chern numbers of vector bundles and higher adeles

Denis Vasilievich Osipov|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、代数的K理論を用いず、アーベル的移行行列とℤによるGL_n(𝔸_X)の中心拡大を用いて、完備体上の滑らかで射影的な曲面上のベクトル束の第二チャーン数を新しく構成する。この方法は、局所的に線型コンパクトなベクトル空間から生じる自然なℤ- torsor に依拠し、移行行列を中心拡大に上げることで、その積が整数として第二チャーン数を与える。これは解析的リーマン・ロッホ証明に類似した新しい手法を提供する。

ABSTRACT

We give a construction of the second Chern number of a vector bundle over a smooth projective surface by means of adelic transition matrices for the vector bundle. The construction does not use an algebraic $K$-theory and depends on the canonical $\mathbb{Z}$-torsor of a locally linearly compact $k$-vector space. Analogs of certain auxiliary results for the case of an arithmetic surface are also discussed.

研究の動機と目的

• 代数的K理論に依存せずに、滑らかで射投影的な曲面上のベクトル束の第二チャーン数を、より素朴な方法で構成すること。
• 第二チャーン数と、ℤによるGL_n(𝔸_X)の中心拡大における上への持ち上げの交換子との間の関係を確立すること。
• 実数値のtorsorを用いてアーキメデス的成分を含むことにより、算術的曲面へのこの構成の拡張をすること。
• ℝ₊*による中心拡大を用いて算術的状況への一般化を図り、算術的リーマン・ロッホおよびノイザーの公式への応用を可能とすること。

提案手法

• 完備体k上の滑らかで射投影的な曲面Xに対して、Parshin-Belinsonのアーベル的環𝔸_Xを構成する。
• X上の除数によるフィルトレーションに起因する、局所的に線型コンパクトなk-ベクトル空間の次元理論から生じる自然なℤ-torsorを用いる。
• 𝔸_X^n上のtorsor構造を用いて、GL_n(𝔸_X)のℤによる中心拡大𝔾𝕃̃_n(𝔸_X)を定義する。
• 最初のものと整合する第二の中心拡大𝔾𝕃̂_n(𝔸_X)をℤにより定義し、GL_n(𝔸_X)の特定の部分群上で自然な分解が存在することを証明する。
• スキーム的点でのベクトル束の自明化から、GL_n(𝔸_X)に倣う移行行列を得る。これらはコycle条件を満たす。
• 自然な分解を用いて、これらの行列を𝔾𝕃̂_n(𝔸_X)に持ち上げる。その積はℤに属し、第二チャーン数として整数を与える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかで射投影的な曲面上のベクトル束の第二チャーン数を、代数的K理論を用いず、アーベル的移行行列とtorsor構造のみを用いて構成可能か？
• RQ2 局所的に線型コンパクトなベクトル空間の次元理論を用いて、GL_n(𝔸_X)のℤによる中心拡大を自然に定義できるか？
• RQ3 GL_n(𝔸_X)の部分群上で中心拡大𝔾𝕃̂_n(𝔸_X)の自然な分解が第二チャーン数の定義に果たす役割は何か？
• RQ4 実数値のtorsorとℝ₊*による中心拡大を用いて、この構成をアーキメデス的ファイバーを含む算術的曲面へどのように拡張できるか？
• RQ5 この方法を用いて、解析的リーマン・ロッホ定理の精神に則ったノイザーの公式を証明できるか？

主な発見

• 完備体上の滑らかで射投影的な曲面上のベクトル束の第二チャーン数は、GL_n(𝔸_X)のℤによる中心拡大へのアーベル的移行行列の持ち上げを通じて整数として構成される。
• この構成は、𝔸_Xが除数によるフィルトレーションによって与える局所的に線型コンパクトなk-ベクトル空間の次元理論から生じる自然なℤ-torsorに依拠している。
• GL_n(𝔸_X)の特定の部分群上で中心拡大𝔾𝕃̂_n(𝔸_X)の自然な分解が存在し、これにより移行行列が持ち上げられ、その積が第二チャーン数を与える。
• 算術的曲面では、ℝ₊*による中心拡大𝔾𝕃̂_n(𝔸_X^ar)が、GL_n(𝔸_X,12) × GL_n(𝔸_X,∞(0))、GL_n(𝔸_X,02)、GL_n(𝔸_X,01)などの部分群上で自然に分解され、代数的状況を一般化する。
• 中心拡大𝔾𝕃̂_n(𝔸_X^ar)は、GL_n(𝔸_X)およびGL_n(𝔸_X,∞)上の拡大のBaer和として与えられ、算術的状況と整合性を持つことが示された。
• この方法はノイザーの公式の証明の基盤を提供し、アーベル的枠組みにおいて高次チャーン類への解析的リーマン・ロッホ定理の一般化を可能にする。