[論文レビュー] Second Order Asymptotic Properties for the Tail Probability of the Number of Customers in the M/G/1 Retrial Queue

Liu Bin, Yiqiang Q. Zhao|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2018

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 41被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、重尾サービス時間を持つM/G/1リトライキューにおける顧客数の尾確率について、初めての2次漸近展開を提示する。特定のスローリング関数を用いて1次近似を精緻化することで、収束速度のより正確な特徴付けが可能となり、特に高負荷状態において尾確率推定の大幅な改善が達成される。

ABSTRACT

When an explicit expression for a probability distribution function $F(x)$ can not be found, asymptotic properties of the tail probability function $\bar{F}(x)=1-F(x)$ are very valuable, since they provide approximations or bounds for system performance, and approaches for computing probability distribution. In this paper, we study tail asymptotic properties for the number of the customers in the $M/G/1$ retrial queueing system. For queueing systems, studies on asymptotic tails have mainly concentrated on the first order asymptotic behavior. To best our knowledge, there is no second order tail asymptotic analysis for retrial queueing models with heavy-tailed service time. Second order asymptotic expansions provide the refined asymptotic results from the first order approximation, and are often more difficult to obtain as expected. The main contribution of this paper is the second order asymptotic analysis for the $M/G/1$ retrial queue.

研究の動機と目的

• リトライキューイングモデル、特に顧客数の尾確率における2次漸近的分析の不足に取り組む。
• 定常キュー長の尾確率の1次漸近近似を、2次項を特定することで精緻化する。
• より正確な2次展開を通じて、1次近似の収束速度を特徴付ける。
• 重尾サービス時間を有するリトライキューのシステム性能推定および計算手法を改善する。
• 先行研究を拡張し、リトライと標準M/G/1システムの差を反映する精緻な漸近展開を提供する。

提案手法

• M/G/1リトライキューにおける定常的顧客数 $ L_ u $ の尾確率 $ P\big\bracevert L_ u > j \big\bracevert $ について、2次漸近展開を導出する。
• 正規化された変動分布 $ \bar{F}_\beta(t) \thicksim t^{-a}L(t) $ を有する regularly varying サービス時間分布を用い、仮定Aのもとで $ L(t) $ を指定することで2次分析を可能にする。
• 再生理論とラプラス＝スティルチェス変換を用いて定常分布を分析し、漸近展開を導出する。
• 1次近似 $ \text{Apprx1} \thicksim c_1 j^{-a+1} L(j) $ と2次近似 $ \text{Apprx2} = \text{Apprx1} + \triangle_L^{\text{app}}(j) $ を比較し、$ \triangle_L^{\text{app}}(j) $ が2次補正を捉える。
• 数値実験を用いて、相対的改善度 $ \text{Imprv} = \frac{\triangle_L(j)}{\text{Apprx2}} \times 100\% $ を計算することで、近似精度の向上を検証する。
• $ j^{-a+1}L(j) $ と $ j^{-a}L(j) $ のオーダー比較により2次展開を確立し、先行研究（例：Liu et al., 2017）で未解決であった曖昧さを解消する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重尾サービス時間を有するM/G/1リトライキューにおける顧客数の尾確率について、2次漸近展開は何か？
• RQ2 2次項は1次近似をどのように精緻化するのか？また、収束速度推定の向上におけるその役割は何か？
• RQ3 リトライキューと標準M/G/1キューの差を2次漸近展開で捉えることができるか？
• RQ4 2次項を含めることで、尾確率近似にどの程度の定量的改善が得られるか？
• RQ5 スローリング関数 $ L(t) $ にどのような条件下で、2次展開を厳密に導出できるか？

主な発見

• 本稿は、重尾サービス時間を有するM/G/1リトライキューにおける顧客数の尾確率について、初めての2次漸近展開を確立し、1次近似を精緻化する。
• $ a = 2.5 $, $ h = 2 $, および $ \rho = 0.8 $ の場合、$ j = 200 $ で相対誤差が最大16.1%まで低減され、高負荷領域では50%を超える改善が得られる。
• 相対的改善度 $ \text{Imprv} $ は $ j $ の増加に従って減少するため、$ j $ が大きくなるほど2次項が真の尾挙動を捉える能力が高まることを示している。
• 2次項 $ \triangle_L^{\text{app}}(j) $ は $ j^{-a}L(j) $ のオーダーに属し、1次項 $ j^{-a+1}L(j) $ よりも小さいが、正確な精緻化には不可欠である。
• 先行研究（Liu et al., 2017）における主要な制限を解消した。同研究では、$ P\big\bracevert L_\nu > j \big\bracevert $ と $ P\big\bracevert L_\nu > j \big\bracevert $ 間の1次差分を直接2次項として用いることができず、オーダー比較の問題が残っていた。
• 数値結果から、2次近似は1次近似を著しく上回り、特に $ \rho = 0.8 $ のような高負荷状態では、中程度の $ j $ に対しても50%を超える改善が得られる。