[論文レビュー] Second order differentiation formula on compact $RCD^*(K,N)$ spaces

Nicola Gigli, Luca Tamanini|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 32被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、有限次元 N < ∞ を持つコンパクトな RCD*(K,N) 空間において、測地線に沿った2階微分公式を確立する。W₂-測地線 μₜ 沿いの関数 f ∈ H²,²(X) の積分の2階微分は、φ がKantorovichポテンシャルであるとき、∫ Hess(f)(∇φ, ∇φ) dμ₀ で与えられる。証明は、拡散係数が小さいシュレーディンガー問題の解であるエンタロピー補間を用いた W₂-測地線の近似に依拠し、密度、シュレーディンガー・ポテンシャル、およびそれらのヘッセ行列に対する一様な推定式を導出し、既知の結果を非滑らかメトリック測度空間へ拡張する。

ABSTRACT

Aim of this paper is to prove the second order differentiation formula along geodesics in compact $RCD^*(K,N)$ spaces with $N

研究の動機と目的

• 有限次元 N < ∞ を持つコンパクトな RCD*(K,N) 空間における測地線に沿った2階微分公式を確立すること。
• W₂-測地線に沿った H²,² 関数の積分の2階微分を特徴づけることにより、1階微分公式を2階に拡張すること。
• W₂-測地線の近似に用いるエンタロピー補間に関する、密度、ポテンシャル、およびそれらのヘッセ行列に対する一様推定式を構築すること。
• 非滑らか設定において、粘性解が消える粘性法により得られることを示すこと。
• RCD 空間におけるスプリットリング定理や「体積コーンはメトリックコーンを意味する」という定理のような幾何学的定理の証明を簡略化する基盤を提供すること。

提案手法

• 拡散係数が小さいシュレーディンガー問題の解であるエンタロピー補間を用いて、W₂-測地線を2階まで近似する。
• 新しい Li-Yau 型不等式を用いて、エンタロピー補間に沿った密度プロファイルの一様有界性を導出する。
• ハミルトン型勾配推定を用いて、シュレーディンガー・ポテンシャルの一様リプシッツ連続性を確立する。
• 曲率の境界と RCD*(K,N) 条件を用いて、シュレーディンガー・ポテンシャルのヘッセ行列に対する一様重み付き L² 界を取得する。
• エンタロピー補間に沿ったテスト関数の積分の2階微分において極限をとることで、2階公式を回復する。
• 熱流による正則化手続きを用いて、テスト関数から一般の H²,² 関数への結果の拡張を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限次元 N < ∞ を持つコンパクトな RCD*(K,N) 空間における W₂-測地線に対して、2階微分公式を確立できるか？
• RQ2 非滑らかメトリック測度空間における W₂-測地線に対して、エンタロピー補間が有効な2階近似スキームを提供するか？
• RQ3 エンタロピー補間に沿った積分の2階微分において極限をとるためには、密度、ポテンシャル、およびそれらのヘッセ行列に対してどのような一様推定式が必要かつ十分か？
• RQ4 滑らかでない設定における RCD 環境でも、ハミルトン＝ジャコビ方程式の粘性解が、消える粘性法により回復可能か？
• RQ5 2階微分公式により、RCD 空間におけるスプリットリング定理や「体積コーンはメトリックコーンを意味する」という定理の証明が簡略化可能か？

主な発見

• W₂-測地線 μₜ 沿いの写像 t ↦ ∫ f dμₜ の2階微分は、f ∈ H²,²(X) に対して、φ が μ₀ から μ₁ への Kantorovich ポテンシャルであるとき、∫ Hess(f)(∇φ, ∇φ) dμ₀ で与えられる。
• f ∈ H²,²(X) に対して、写像 t ↦ ∫ f dμₜ は [0,1] 上で C² である。これは、積分の時間発展における強い正則性を示している。
• エンタロピー補間は、密度、ポテンシャル、およびポテンシャルのヘッセ行列に対する一様制御が得られるため、W₂-測地線の2階近似を提供する。
• シュレーディンガー・ポテンシャルのヘッセ行列には一様重み付き L² 界が存在し、2階微分の極限をとる際に中心的な役割を果たす。
• ハミルトン＝ジャコビ方程式の粘性解は、正則化された方程式の解の極限として得られ、RCD 環境における消える粘性法の有効性を裏付けている。
• 2階微分公式により、RCD 空間におけるスプリットリング定理や「体積コーンはメトリックコーンを意味する」定理などの幾何学的結果の証明が簡略化可能である。