[論文レビュー] Second Order $L^\infty$ Variational Problems and the $\infty$-Polylaplacian

Nikos Katzourakis, Tristan Pryer|arXiv (Cornell University)|May 25, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 22被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、ヘッセ行列の関数の $L^\finity$ ノルムを最小化する2階 $L^\finity$ 変分問題を導入し、Euler-Lagrange方程式の $L^\finity$ 同型として完全非線形3階PDE—$\boldsymbol{\mathrm{A}}^2_\finity$ 方程式—を導出する。主な貢献は、$\finity$-ポリラプラシアンおよび $\finity$-バイラプラシアン方程式の厳密な導出と解析であり、BaireカテゴリおよびYoung測度法を用いて一般化解（$\mathcal{D}$-解）の存在性・一意性および変分的特徴づけを確立する。

ABSTRACT

In this paper we initiate the study of $2$nd order variational problems in $L^\infty$, seeking to minimise the $L^\infty$ norm of a function of the hessian. We also derive and study the respective PDE arising as the analogue of the Euler-Lagrange equation. Given $\mathrm{H}\in C^1(\mathbb{R}^{n imes n}_s)$, for the functional \[ \label{1} \mathrm{E}_\infty(u,\mathcal{O})\, =\, \big\| \mathrm{H}\big(\mathrm{D}^2 u\big) \big\|_{L^\infty(\mathcal{O})}, \ \ \ u\in W^{2,\infty}(Ω),\ \mathcal{O}\subseteq Ω, ag{1} \] the associated equation is the fully nonlinear 3rd order PDE \[ \label{2} \mathrm{A}^2_\infty u\, :=\,\big(\mathrm{H}_X\big(\mathrm{D}^2u\big)\big)^{\otimes 3}:\big(\mathrm{D}^3u\big)^{\otimes 2}\, =\,0. ag{2} \] Special cases arise when $\mathrm{H}$ is the Euclidean length of either the full hessian or of the Laplacian, leading to the $\infty$-Polylaplacian and the $\infty$-Bilaplacian respectively. We establish several results for \eqref{1} and \eqref{2}, including existence of minimisers, of absolute minimisers and of "critical point" generalised solutions, proving also variational characterisations and uniqueness. We also construct explicit generalised solutions and perform numerical experiments.

研究の動機と目的

• 2階変分問題を $L^\finity$ で研究を開始すること。具体的には、ヘッセ行列の関数の $L^\finity$ ノルムを最小化すること。
• 完全非線形3階PDE $\mathrm{A}^2_\infty u = 0$ を、$L^\infty$ 同型のEuler-Lagrange方程式として導出し、解析すること。
• $\mathrm{A}^2_\infty$ 方程式に対する最小化子、絶対最小化子、一般化解（$\mathcal{D}$-解）の存在性と一意性を確立すること。
• $\mathrm{A}^2_\infty$ 方程式の変分的特徴づけを提供し、1次元における明示的解を提示すること。
• $p$-バイラプラシアン近似と有限要素法を用いて理論的結果の数値的妥当性を検証すること。

提案手法

• $p \to \infty$ の極限として、$L^\infty$ PDE $\mathrm{A}^2_\infty u = (\mathrm{H}_X(\mathrm{D}^2u))^{\otimes 3} : (\mathrm{D}^3u)^{\otimes 2} = 0$ を $L^p$ 問題の極限として導出する。
• Baireカテゴリ法および球面上に値をとるYoung測度を用いて、Dirichlet問題に対する一般化解（$\mathcal{D}$-解）を構成する。
• 凸統合とフローマップ解析を用いて、$\mathrm{A}^2_\infty$ 演算子をODEフローを通じて特徴づける。
• 絶対最小化子（$\mathrm{AM}^2$）の概念を通じて、$\mathrm{A}^2_\infty$ の変分的特徴づけを確立し、比較原理を用いて一意性を証明する。
• 1次元における $\infty$-バイラプラシアンおよび $\infty$-ポリラプラシアンの明示的解を、区分的2次関数を用いて構成する。
• $p$-バイラプラシアン正則化を用いた数値近似を行い、混合有限要素法を用いて $\infty$-バイラプラシアン解への収束をシミュレートする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2階変分問題の $L^\infty$ 極限として現れる正しい完全非線形3階PDEは何か？
• RQ2 一般化解（例：$\mathcal{D}$-解）はどのように構成可能であり、その変分的特徴づけは何か？
• RQ3 関数 $\mathrm{E}_\infty(u,\mathcal{O}) = \|\mathrm{H}(\mathrm{D}^2u)\|_{L^\infty(\mathcal{O})}$ の $L^\infty$ 機能に対して、絶対最小化子が存在する条件は何か？
• RQ4 $\infty$-ポリラプラシアンおよび $\infty$-バイラプラシアン方程式の構造的性質は何か？また、それらは $p$-ラプラシアンに対応するものとどのように異なるか？
• RQ5 $p$-バイラプラシアン問題の数値近似はどのように $\infty$-バイラプラシアン解に収束するか？また、高次元ではどのようなパターンが現れるか？

主な発見

• $L^\infty$ のEuler-Lagrange方程式は、$p \to \infty$ の極限として得られる完全非線形3階PDE $\mathrm{A}^2_\infty u = (\mathrm{H}_X(\mathrm{D}^2u))^{\otimes 3} : (\mathrm{D}^3u)^{\otimes 2} = 0$ である。
• 1次元における $\infty$-バイラプラシアンに対して、弱い意味でPDEを満たす区分的2次関数として構成可能な明示的一般化解が存在する。
• $\mathrm{A}^2_\infty$ 方程式は $W^{2,\infty}(\Omega)$ 内に一意な絶対最小化子を有し、$\mathrm{AM}^2$ 条件による比較原理によって特徴づけられる。
• 数値実験により、$p$-バイラプラシアン解が $p \to \infty$ の極限で $\infty$-バイラプラシアン解に収束することが確認され、$\Delta u^p$ が区分的定数関数に近づく。
• 2次元では、$p$-バイラプラシアンの極限において $\Delta u$ に複雑な界面パターンが現れる。これは、$\infty$-バイラプラシアン解が複雑な不連続性集合を持つ区分的2次関数である可能性を示唆する。
• $\infty$-ポリラプラシアンおよび $\infty$-バイラプラシアン方程式は、それぞれ $\mathrm{D}^2u : \mathrm{D}(|\mathrm{D}^2u|^2) \otimes \mathrm{D}(|\mathrm{D}^2u|^2) = 0$ および $(\Delta u)^3 |\mathrm{D}(\Delta u)|^2 = 0$ に、スケーリング後に等価である。