[論文レビュー] A New Characterisation of $\infty$-Harmonic and $p$-Harmonic Maps via Affine Variations in $L^\infty$

Nikos Katzourakis|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 15被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、$L^{\infty}$におけるアフィン変種を用いて、∞-調和およびp-調和写像の新しい変分的特徴付けを確立し、∞-ラプラシアンおよびp-ラプラシアン方程式の解が、特定のアフィン摂動の下で、最大エネルギー $\| |Du|^2 \|_{L^\infty}$ を最小化する写像であることを示している。結果は、$N \geq 2$ では $\mathcal{D}$-解、$N=1$ では粘性解を用いて証明され、$L^\infty$ における変分法の理論がベクトル値設定へと拡張されている。

ABSTRACT

Let $u: Ω\subseteq \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^N$ be a smooth map and $n,N \in \mathbb{N}$. The $\infty$-Laplacian is the PDE system \[ ag{1} \label{1} Δ_\infty u \, :=\, \Big(Du \otimes Du + |Du|^2[Du]^\bot\! \otimes I\Big) :D^2u\, =\, 0, \] where $[Du]^\bot := ext{Proj}_{R(Du)^\bot}$. \eqref{1} constitutes the fundamental equation of vectorial Calculus of Variations in $L^\infty$, associated to the model functional \[ ag{2} \label{2} E_\infty (u,Ω')\, =\, \big\| |Du|^2\big\|_{L^\infty(Ω')} ,\ \ \ Ω' \Subset Ω. \] We show that generalised solutions to \eqref{1} can be characterised in terms of \eqref{2} via a set of designated affine variations. For the scalar case $N=1$, we utilise the theory of viscosity solutions of Crandall-Ishii-Lions. For the vectorial case $N\geq 2$, we utilise the recently proposed by the author theory of $\mathcal{D}$-solutions. Moreover, we extend the result described above to the $p$-Laplacian, $1

研究の動機と目的

• ベクトル値設定（$N \geq 2$）における ∞-調和および p-調和写像の、$L^\infty$ におけるアフィン変種を用いた新しい変分的特徴付けを提供すること。
• 非発散型で不連続係数をもつ ∞-ラプラシアン系の、ベクトル値の場合における一般化された解の定義の課題を解決すること。
• $L^\infty$ 変分法の変分的構造と、$1 < p < \infty$ の $p$-ラプラシアン枠組みを統一すること。
• $\mathcal{D}$-解を用いて、$L^\infty$ における絶対最小化子および擬凸性の理論を、一般のベクトル値写像へと拡張すること。

提案手法

• 本稿では、解 $u$ と部分領域 $\Omega' \Subset \Omega$ に依存するアフィン変種のクラス $\mathcal{A}^p_{\Omega'}(u)$ を導入し、$L^\infty$ 機能 $E_\infty(u,\Omega') = \||Du|^2\|_{L^\infty(\Omega')}$.
• $N=1$ の場合、Crandall-Ishii-Lions の粘性解理論を用いて、∞-調和関数がアフィン変種の下で $E_\infty$ を最小化するものとして特徴付けられる。
• $N \geq 2$ の場合、最近開発された $\mathcal{D}$-解理論を用いて、射影 $[Du]^\perp$ に起因する不連続係数を扱う。
• 主な技術的道具は、拡散ヘッシアン $\mathcal{D}^2u$ 及びその縮小台 $\mathrm{supp}_*(\mathcal{D}^2u(x))$ の使用であり、滑らかでない解の解析を可能にする。
• 証明は、アフィン摂動に沿ったエネルギー汎関数の下方のディニ微分 $\underline{D}h(0^+)$ を分析することに依拠し、最小性の必要十分条件を導出する。
• 重要な恒等式が確立される：$\underline{D}h(0^+) \geq 0$ であることは、かつは $\Delta_\infty u = 0$ が $\mathcal{D}$-意味で成り立つことと同値であり、変動安定性と PDE の関係を結ぶ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベクトル値の場合（$N \geq 2$）における ∞-調和写像は、特定のアフィン変種の下で、最大エネルギー $\| |Du|^2 \|_{L^\infty}$ を最小化するものとして特徴付けられるか。
• RQ2 $\mathcal{D}$-解枠組みは、古典的解が存在しない場合に、∞-ラプラシアンの一般化された解をどのように特徴付けるか。
• RQ3 同じ $L^\infty$-型汎関数を通じて、$1 < p < \infty$ の $p$-ラプラシアンと ∞-ラプラシアンを統一する変分原理が存在するか。
• RQ4 ∞-調和写像の最小性条件を満たすアフィン変種クラス $\mathcal{A}^p_{\Omega'}(u)$ の正確な構造は何か。
• RQ5 勾配の値域 $R(Du)$ 及び射影 $[Du]^\perp$ の幾何的性質は、アフィン摂動の下での解の安定性にどのように影響するか。

主な発見

• $\mathcal{D}$-意味で $\Delta_\infty u = 0$ が $\Omega$ 上で成り立つことは、すべての $\Omega' \Subset \Omega$ 及びすべての $A \in \mathcal{A}^{\top,\infty}_{\Omega'}(u) \cup \mathcal{A}^{\bot,\infty}_{\Omega'}(u)$ に対して $\|Du\|_{L^\infty(\Omega')} \leq \|Du + DA\|_{L^\infty(\Omega')}$ が成り立つことと同値である。
• $1 < p < \infty$ の場合、$p$-ラプラシアン $\Delta_p u = 0$ は、$p$-依存の変種クラス $\mathcal{A}^p_{\Omega'}(u)$ に対する同じ最小性条件によって特徴付けられ、$p$-ラプラシアン枠組みへと結果が拡張される。
• スカラーの場合（$N=1$）では、粘性解を用いて結果が成り立ち、∞-調和関数がアフィン変種の下で $\| |Du|^2 \|_{L^\infty}$ を正確に最小化するものであることが確認される。
• $C^2$ 写像の場合、$\mathcal{D}$-解は古典的ヘッシアンに還元され、変種クラス $\mathcal{A}^{\top,\infty}_{\Omega'}(u)$ 及び $\mathcal{A}^{\bot,\infty}_{\Omega'}(u)$ は、$Du \neq 0$ である点で、古典的恒等式 $\mathrm{div}(A^\top Du) = 0$ を与える。
• 証明により、すべてのこのようなアフィン変種に対して $\underline{D}h(0^+) \geq 0$ であることは、$\infty$-ラプラシアンが $\mathcal{D}$-意味で消えることと同値であることが示され、鋭い必要十分条件が確立される。
• 特徴付けは頑健である：$[Du]^\perp$ に起因する ∞-ラプラシアンの係数が不連続であっても、最小性条件はそのままであり、解を完全に特徴付ける。