[論文レビュー] Absolutely Minimising Generalised Solutions to the Equations of Vectorial Calculus of Variations in $L^\infty$

Nikos Katzourakis|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2015

Model Reduction and Neural Networks参考文献 30被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、$L^∞$におけるスレーシャル関数への$ L^p $近似と、新規の$\mathcal{D}$-解の概念を用いて、$L^∞$におけるベクトル値絶対的最小化子の存在を確立する。この最小化子が、一般化されたベクトル値$\infty$-ラプラシアン系の解として特徴づけられ、$p\to\infty$における$ L^p $最小化子の極限であることが示され、特異点集合を除いて部分的に$C^2$であることが判明し、$L^∞$におけるベクトル値変分法の主要なギャップを解消する。結果は気象学におけるデータ同化の応用を動機としており、アロンスンの理論をスカラーからベクトル値へと完全に解析的に拡張する。

ABSTRACT

Consider the supremal functional \[ ag{1} \label{1} E_\infty(u,A) \,:=\, \|L(\cdot,u,D u)\|_{L^\infty(A)},\quad A\subseteq Ω, \] applied to $W^{1,\infty}$ maps $u:Ω\subseteq \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}^N$, $N\geq 1$. Under certain assumptions on $L$, we prove for any given boundary data the existence of a map which is: i) a vectorial Absolute Minimiser of \eqref{1} in the sense of Aronsson, ii) a generalised solution to the ODE system associated to \eqref{1} as the analogue of the Euler-Lagrange equations, iii) a limit of minimisers of the respective $L^p$ functionals as $p ightarrow\infty$ for any $q\geq 1$ in the strong $W^{1,q}$ topology \& iv) partially $C^2$ on $Ω$ off an exceptional compact nowhere dense set. oi {Our method is based on $L^p$ approximations and stable a priori partial regularity estimates. For item ii) we utilise the recently proposed by the author notion of $\mathcal{D}$-solutions in order to characterise the limit as a generalised solution. Our results are motivated from and apply to Data Assimilation in Meteorology.}

研究の動機と目的

• スカラーからベクトル値へのアロンスンの絶対的最小化子理論を、$L^\infty$における変分法に拡張すること。
• 新しく導入された$\mathcal{D}$-解フレームワークを用いて、ベクトル値$\infty$-ラプラシアン系の一般化された解の存在を確立すること。
• $L^p$最小化子の極限が、任意の$q \geq 1$における$W^{1,q}$位相で$p \to \infty$の極限として特徴づけられ、勾配の強い収束を保証すること。
• 最小化子がコンパクトで非稠密な例外集合を除いて部分的に$C^2$であることを証明すること。
• 特に気象学におけるデータ同化に応用される、ベクトル値$ L^\infty $最小化が自然に生じる文脈における、厳密な解析的基盤を提供すること。

提案手法

• 超上限関数 $E_\infty(u,A) = \|\mathscr{L}(\cdot,u,Du)\|_{L^\infty(A)}$ の$ L^p $近似を用いて、$p \to \infty$の過程で最小化子の列を構成する。
• 安定な事前部分正則性推定式を適用し、$ L^p $最小化子の挙動を制御し、収束性を保証する。
• $\mathcal{D}$-解という概念を導入・適用し、$L^\infty$設定における$ L^p $最小化子の極限を特徴づける一般化された解の概念を構築する。
• 2階微分に関連するYoung測度の弱*収束を用いて、正則性集合$\Omega^\infty$上で極限が$\mathcal{D}$-解として特定されることを示す。
• Vitali収束定理を用いて、等積分性とほとんど everywhere での点収束を活用し、勾配$Du^m \to Du^\infty$の$W^{1,q}$における強い収束を確立する。
• 勾配を$\mathscr{V}(\cdot,u)$と残差$v^m$に分解し、$m \to \infty$の過程で$\|v^m\|_{L^3} \to 0$であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のラグランジアン仮定のもとで、$L^\infty$におけるベクトル値絶対的最小化子が、アロンスンのスカラー理論を拡張して存在するか。
• RQ2 古典的$C^2$解が存在しない状況下で、ベクトル値$\infty$-ラプラシアン系の一般化された解をどのように定義・特徴づけるか。
• RQ3 $L^p$最小化子とその$ L^\infty $極限との関係は、$p \to \infty$における強い$W^{1,q}$位相でどのように特徴づけられるか。
• RQ4 最小化子の部分的$C^2$正則性はどの程度成立し、特異点はどこに現れるか。
• RQ5 $\mathcal{D}$-解フレームワークは、ベクトル値の場合における$ L^\infty $オイラー＝ラグランジュ系の解を一貫的かつ安定に特徴づけることができるか。

主な発見

• 本稿は、ラグランジアン$\mathscr{L}$に標準的な$C^2$仮定を課したもとで、機能$E_\infty(u,A) = \|\mathscr{L}(\cdot,u,Du)\|_{L^\infty(A)}$に対するベクトル値絶対的最小化子の存在を証明する。
• 極限写像$u^\infty$は、$L^\infty$における基本方程式の$\mathcal{D}$-解であることが示され、新規の解概念の意味で一般化されたオイラー＝ラグランジュ系を満たす。
• $L^p$最小化子の列$u^m$は、$p \to \infty$の過程で任意の$q \geq 1$に対して$W^{1,q}(\Omega,\mathbb{R}^N)$において$u^\infty$に強く収束し、$Du^m \to Du^\infty$ a.e. かつ $L^q$収束する。
• 最小化子$u^\infty$は、$\Omega$の全測度部分集合である正則性集合$\Omega^\infty$上で部分的に$C^2$であり、2階微分が特異になり得るコンパクトで非稠密な例外集合を除いてはそうである。
• $\Omega^\infty$上では、2階微分のYoung測度$\mathcal{D}^2u^\infty(x)$が$\mathrm{D}^2u^\infty(x)$におけるディラック質量に一致し、ここでの強い解行動が確認される。
• 極限写像$u^\infty$は一般化された意味でベクトル値$\infty$-ラプラシアン系を満たし、$\Omega^\infty$の補集合上では方程式の右辺が a.e. で消える。これは$\mathcal{D}$-解の定義と整合的である。