[論文レビュー] Second order quasilinear PDEs and conformal structures in projective space

P. A. BUROVSKIY, E. V. Ferapontov+1 more|ArXiv.org|Feb 19, 2008

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 33被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、3変数における2階準線形PDEの可積分性を、その係数が射影空間上に同一形構造を定めることによって幾何的分類を確立する。可積分性は同一形平坦性および無限に多くの3重共役零座標系の存在と同値である。このような可積分方程式のモジュライ空間は20次元であることが証明され、すべての解が分散なしLax対を有することも示された。

ABSTRACT

We investigate second order quasilinear equations of the form f_{ij} u_{x_ix_j}=0 where u is a function of n independent variables x_1, ..., x_n, and the coefficients f_{ij} are functions of the first order derivatives p^1=u_{x_1}, >..., p^n=u_{x_n} only. We demonstrate that the natural equivalence group of the problem is isomorphic to SL(n+1, R), which acts by projective transformations on the space P^n with coordinates p^1, ..., p^n. The coefficient matrix f_{ij} defines on P^n a conformal structure f_{ij} dp^idp^j. In this paper we concentrate on the case n=3, although some results hold in any dimension. The necessary and sufficient conditions for the integrability of such equations by the method of hydrodynamic reductions are derived. These conditions constitute a complicated over-determined system of PDEs for the coefficients f_{ij}, which is in involution. We prove that the moduli space of integrable equations is 20-dimensional. Based on these results, we show that any equation satisfying the integrability conditions is necessarily conservative, and possesses a dispersionless Lax pair. Reformulated in differential-geometric terms, the integrability conditions imply that the conformal structure f_{ij} dp^idp^j is conformally flat, and possesses an infinity of 3-conjugate null coordinate systems. Integrable equations provide an abundance of explicit examples of such conformal structures parametrized by elementary functions, elliptic functions and modular forms.

研究の動機と目的

• 3つの独立変数における2階準線形PDEの可積分性を統一的かつ内的な特徴づけを提供すること。
• このようなPDEの自然な同値群が射影的変換によって作用するSL(4,R)であることを特定すること。
• 流体還元法を用いて可積分性の必要十分条件を導出すること。
• 簡略化仮定の下での可積分方程式の分類を行い、初等関数、楕円関数、モジュラー関数を用いた新しい例を導出すること。
• 同一形平坦性および3重共役零座標系の存在を用いた微分幾何的特徴づけを確立すること。

提案手法

• 可積分性に必要な十分な条件として、係数 $f_{ij}$ に対する過決定PDE系を流体還元法を用いて導出する。
• 自然な同値群を $SL(4,\mathbb{R})$ と特定し、1次微分係数に対応する座標 $p^1, p^2, p^3$ を持つ射影空間 $\mathbb{P}^3$ 上に作用させる。
• 可積分性条件を、$\mathbb{P}^3$ 上の同一形構造 $f_{ij}(\mathbf{p})dp^i dp^j$ が同一形平坦であり、かつ無限に多くの3重共役零座標系を有することと同値に再定式化する。
• 記号計算を用いて、100万以上の項を含む系を4500項未満の多項式系に簡略化し、その後、$f_{ij}$ の2階微分係数に関する30個の独立方程式を解く。
• 系を簡略化するための正規化 $f_{22} = 1$ を用い、$d^2f_{ij} = \frac{1}{F}R(f_{kl}, df_{kl})$ という閉形式の式を得る。ここで $R$ は $f_{kl}$ および $df_{kl}$ に関して2次である。
• 系が完全系であることを確認し、可積分方程式の20次元モジュライ空間の存在を裏付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3変数における2階準線形PDEの自然な同値群は何か？ただし係数は1次微分係数にのみ依存するものとする。
• RQ2 このようなPDEが流体還元法によって可積分であるための必要十分条件は何か？
• RQ3 このようなPDEの可積分性を微分幾何的観点からどのように特徴づけられるか？
• RQ4 このようなタイプの可積分方程式のモジュライ空間の次元は何か？
• RQ5 初等関数、楕円関数、モジュラー関数のうち、このクラスの可積分方程式の係数をパラメータ化できるものはどれか？

主な発見

• 3変数における2階準線形PDEの可積分性のモジュライ空間は、正確に20次元である。これは5つの係数 $f_{ij}$ 及びそれらの3階微分係数に制約なしに得られる。
• このクラスのすべての可積分方程式は保存的であり、可積分性条件の結果として分散なしLax対を有する。
• $\mathbb{P}^3$ 上の同一形構造 $f_{ij}(\mathbf{p})dp^i dp^j$ は必然的に同一形平坦であり、1変数の任意関数3つでパラメータ化される無限族の3重共役零座標系を有する。
• 可積分性条件は、$f_{ij}$ の2階微分係数に関する30個の線形独立な方程式系と同値であり、完全系であり、閉形式解を有する。
• ワイエルシュトラス $\wp$-関数およびモジュラー形式を用いて、可積分方程式の明示的例が構成された。特に、レベル2のモジュラー形式に関連する3階常微分方程式を満たす係数関数を含む例が得られた。
• 主な技術的業績として、分散関係および正規化を用いた体系的なキャンセルにより、100万以上の項を含む系を4500項未満の扱いやすい多項式系に簡略化した。