[論文レビュー] Second Quantized Mathieu Moonshine

Daniel Persson, Roberto Volpato|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 66被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、一般化されたマチュー月光作用素におけるねじれ双対生成関数の第二量子化版を導入し、これが無限積表現をもつスiegelモジュラー形式を生むことを示している。これらの形式はS双対性およびウォールクロッシングの性質を満たし、二つのバージョンの$M_{24}$月光作用素を統合するとともに、一部が万神月光作用素からのボルチェルズ・リフトとして特定される。

ABSTRACT

We study the second quantized version of the twisted twining genera of generalized Mathieu moonshine, and prove that they give rise to Siegel modular forms with infinite product representations. Most of these forms are expected to have an interpretation as twisted partition functions counting 1/4 BPS dyons in type II superstring theory on K3 imes T^2 or in heterotic CHL-models. We show that all these Siegel modular forms, independently of their possible physical interpretation, satisfy an "S-duality" transformation and a "wall-crossing formula". The latter reproduces all the eta-products of an older version of generalized Mathieu moonshine proposed by Mason in the '90s. Surprisingly, some of the Siegel modular forms we find coincide with the multiplicative (Borcherds) lifts of Jacobi forms in umbral moonshine.

研究の動機と目的

• 一般化されたマチュー月光作用素におけるねじれ双対生成関数の第二量子化版を構成すること。
• これらの第二量子化形式が無限積表現をもつスiegelモジュラー形式であることを示すこと。
• ウォールクロッシングを通じて、一般化されたマチュー月光作用素とメイソンの初期の$M_{24}$-月光作用素との間の物理的・数学的関係を確立すること。
• 得られたスiegelモジュラー形式がS双対性および自動形式的不変性を満たすことを示すこと。
• 第二量子化リフトが万神月光作用素からのボルチェルズ・リフトと一致する場合を同定すること。

提案手法

• 弱いジャコビ形式$\phi_{g,h}$にねじれ付き等長的ヘッケ作用素を適用し、第二量子化されたねじれ双対生成関数$\Psi_{g,h}$を定義する。
• 乗法的（ボルチェルズ）リフトを用いて、ジャコビ形式$\phi_{g,h}$から$\Psi_{g,h}$をスiegelモジュラー形式として構成する。
• 群コホホロジーおよび中心拡大を用いて、ねじれ付き等長的ヘッケ作用素を一貫して定義する。
• $g$の中心化群の共役類をその被覆群の共役類に再ラベル化する手続きを導入し、S双対性不変性を実現する。
• すべてのメイソンの一般化された$M_{24}$-月光作用素のエータ積を再現するウォールクロッシング公式を導出する。
• S双対性変換および$\mathrm{Sp}(2,\mathbb{Z})$におけるモジュラー不変性を用いて、自動形式的性質を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化されたマチュー月光作用素におけるねじれ双対生成関数をどのように第二量子化し、自動形式を得られるか？
• RQ2 得られた第二量子化形式はS双対性およびウォールクロッシングの性質を満たすか？
• RQ3 ウォールクロッシング公式は、メイソンの一般化された$M_{24}$-月光作用素の無限積構造を再現できるか？
• RQ4 第二量子化形式と万神月光作用素からのボルチェルズ・リフトとの間に接続はあるか？
• RQ5 これらのスiegelモジュラー形式は弦の compactification において物理的にどのように解釈できるか？

主な発見

• 第二量子化されたねじれ双対生成関数$\Psi_{g,h}$は、無限積表現をもつスiegelモジュラー形式である。
• これらのスiegelモジュラー形式はS双対性変換を満たし、$\mathrm{Sp}(2,\mathbb{Z})$-双対性不変性を示している。
• ウォールクロッシング公式は、すべてのメイソンの一般化された$M_{24}$-月光作用素のエータ積を再現し、二つの月光作用素の間の直接的な関係を確立している。
• 特定の$g,h$の共役類において、$\Psi_{g,h}$は万神月光作用素からのジャコビ形式のボルチェルズ・リフトと一致する。
• この構成はすべての$M_{24}$共役類において一貫しており、月光モジュールのモジュラーおよび群論的構造を尊重している。
• 第二量子化形式は、物理的に$K3 \times T^2$およびCHLモデルへの型IIコンactificationにおける1/4 BPSダイオンを数えるねじれ付き分配関数として解釈可能である。