[論文レビュー] Secretary Problems with Non-Uniform Arrival Order

Thomas Keßelheim, Robert Kleinberg+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2015

Optimization and Search Problems参考文献 27被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、秘書問題における一様ランダム性の仮定を緩和し、具体的には $(p,q,u)$-ブロック独立性および $(k,\delta)$-一様誘導順序性という性質を導入する。これらの条件のもとでも、最大値の最適選択確率が定数に保たれ、古典的な $1/e$ の成功確率に近づくことが示された。結果として、一様ランダム性よりもはるかに広い分布族がこの性質を満たしており、多くの自然な非一様分布が含まれることが明らかになった。

ABSTRACT

For many online problems, it is known that the uniform arrival order enables the design of algorithms with much better performance guarantees than under worst-case. The quintessential example is the secretary problem. If the sequence of elements is presented in uniformly random order there is an algorithm that picks the maximum value with probability 1/e, whereas no non-trivial performance guarantee is possible if the elements arrive in worst-case order. This work initiates an investigation into relaxations of the random-ordering hypothesis in online algorithms, by focusing on the secretary problems. We present two sets of properties of distributions over permutations as sufficient conditions, called the block-independence property and uniform-induced-ordering property. We show these two are asymptotically equivalent by borrowing some techniques from the approximation theory. Moreover, we show they both imply the existence of secretary algorithms with constant probability of correct selection, approaching the optimal constant 1/e in the limit. We substantiate our idea by providing several constructions of distributions that satisfy block-independence. We also show that Θ(log log n) is the minimum entropy of any permutation distribution that permits constant probability of correct selection in the secretary problem with n elements. While our block-independence condition is sufficient for constant probability of correct selection, it is not necessary; however, we present complexity-theoretic evidence that no simple necessary and sufficient criterion exists. Finally, we explore the extent to which the performance guarantees of other algorithms are preserved when one relaxes the uniform random ordering assumption, obtaining a positive result for Kleinberg's multiple-choice secretary algorithm and a negative result for the weighted bipartite matching algorithm of Korula and Pal.

研究の動機と目的

• オンラインアルゴリズム、特に秘書問題において、到着順序が一様ランダムであることを仮定せず、緩和されたランダム性仮定のもとでも強い性能保証を維持できるかどうかを調査すること。
• 秘書問題においても定数確率で最適選択が可能となる自然で非一様な分布の性質を同定すること。
• 秘書問題において $n$ 要素に対して定数確率で正しく選択可能な任意の順列分布が要する最小エントロピーを特定すること。
• 他のオンラインアルゴリズム（例：複数選択秘書問題、重み付き二部マッチング）の性能保証が、緩和されたランダム性仮定のもとでも保持されるかどうかを評価すること。
• s-許容性のための単純な必要十分条件が存在するかどうかを特定し、存在しない場合、その非存在について計算複雑性理論的証拠を提示すること。

提案手法

• $(p,q,\delta)$-ブロック独立性（BIP）を導入し、任意の $p$ 個の異なるアイテムの到着時刻の同時分布が、粗いスケールで見たときに $p$ 個の i.i.d. 一様サンプルと $\delta$-近傍にあることを要件とする。
• $(k,\delta)$-一様誘導順序性（UIOP）を導入し、任意の $k$ 個の異なるアイテムについて、その相対順序が一様分布と $\delta$-近傍にあることを要件とする。
• 近似理論の手法を用いて BIP と UIOP の漸近的同値性を証明し、十分に大きな $k$ および小さな $\delta$ に対して UIOP が BIP を含むことを示した。
• 確率的補題を用いて、特定のエッジ確率と重みを持つランダムな二部グラフを構築し、緩和された仮定のもとでのアルゴリズム性能を分析した。
• チェルノフ型不等式と和集合の不等式を用いて、高確率で構築された順列分布が所定の性質を満たすことを示した。
• 既存のアルゴリズム（クライナバの複数選択秘書問題、コルーラ・パルの重み付き二部マッチング）を、最悪ケースのインスタンス構築により新しい仮定のもとで性能を分析した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 到着順序が一様ランダムでない場合でも、順列分布のどのような自然な性質が、秘書問題において定数確率で正しく最大値を選択可能であることを保証するか？
• RQ2 $(k,\delta)$-一様誘導順序性または $(p,q,\delta)$-ブロック独立性を用いて、$1/e$ に近い定数の成功確率を導出可能か？
• RQ3 秘書問題において $n$ 要素に対して定数確率で正しく選択可能な順列分布の最小エントロピーは何か？
• RQ4 提案された性質は s-許容性に必要か、それともさらに緩和可能か？
• RQ5 既存のオンラインアルゴリズムは、緩和されたランダム性仮定のもとでどの程度頑健であるか、特に性能保証の観点から。

主な発見

• $(p,q,\delta)$-ブロック独立性および $(k,\delta)$-一様誘導順序性は漸近的に同値であり、両者とも $\delta \to 0$ および $k \to \infty$ のとき、成功確率が $1/e$ に近づく定数確率を持つ秘書アルゴリズムの存在を示唆する。
• 本稿では、$n$ 要素に対する秘書問題において定数確率で正しく選択可能な順列分布の最小エントロピーが $\Theta(\log \log n)$ であることを証明した。
• $(k,\delta)$-一様誘導順序性は $k \geq 3$ のとき s-許容性を含み、$k \to \infty$ および $\delta \to 0$ のとき成功確率が $1/e$ に近づく。
• ブロック独立性は s-許容性の十分条件ではあるが、必要条件ではない。計算複雑性理論的証拠により、単純な必要十分条件は存在しない可能性がある。
• クライナバの複数選択秘書問題アルゴリズムは $(k,\delta)$-UIOP の仮定のもとでも良好な性能を維持するが、コルーラ・パルの重み付き二部マッチングアルゴリズムは同様の条件下で性能保証を失う。
• 各側に $n$ 個の頂点を持つランダムな二部グラフの構築により、コルーラ・パルのアルゴリズムが $(k,\delta)$-UIOP においては最適な $\Omega(n)$ に対して $O(\log n)$ の期待値しか達成できず、このアルゴリズムに対しては否定的結果が示された。