[論文レビュー] Secure Distributed Matrix Computation with Discrete Fourier Transform

Nitish Mital, Cong Ling+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2020

Stochastic Gradient Optimization Techniques被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、有限体上の離散フーリエ変換（DFT）の性質を活用して、安全分散行列乗算（SDMM）におけるアップロードコストを最小化する、新しいセキュアな分散行列計算方式を提案する。単位根を用いた多項式符号化により、近似的に最適なアップロードコストと最適なダウンロードコストを達成するとともに、任意のT台のサーバーが共謀しても完全なプライバシーを保証し、遅延サーバー（ストラグル）の緩和が可能であり、複数の行列乗算やその他の行列演算への拡張も可能である。

ABSTRACT

We consider the problem of secure distributed matrix computation (SDMC), where a extit{user} queries a function of data matrices generated at distributed extit{source} nodes. We assume the availability of $N$ honest but curious computation servers, which are connected to the sources, the user, and each other through orthogonal and reliable communication links. Our goal is to minimize the amount of data that must be transmitted from the sources to the servers, called the extit{upload cost}, while guaranteeing that no $T$ colluding servers can learn any information about the source matrices, and the user cannot learn any information beyond the computation result. We first focus on secure distributed matrix multiplication (SDMM), considering two matrices, and propose a novel polynomial coding scheme using the properties of finite field discrete Fourier transform, which achieves an upload cost significantly lower than the existing results in the literature. We then generalize the proposed scheme to include straggler mitigation, and to the multiplication of multiple matrices while keeping the input matrices, the intermediate computation results, as well as the final result secure against any $T$ colluding servers. We also consider a special case, called computation with own data, where the data matrices used for computation belong to the user. In this case, we drop the security requirement against the user, and show that the proposed scheme achieves the minimal upload cost. We then propose methods for performing other common matrix computations securely on distributed servers, including changing the parameters of secret sharing, matrix transpose, matrix exponentiation, solving a linear system, and matrix inversion, which are then used to show how arbitrary matrix polynomials can be computed securely on distributed servers using the proposed procedure.

研究の動機と目的

• T台の共謀サーバーに対する情報理論的プライバシーを保証しつつ、安全分散行列計算（SDMC）におけるアップロードコストを最小化すること。
• SDMM方式を、複数の行列の安全な乗算をサポートするように拡張すること。
• セキュリティを損なわせることなく、計算フレームワークにストラグル耐性を統合すること。
• 転置、逆行列計算、線形方程式系の解法といった基本的演算の安全な実装を通じて、任意の行列多項式計算を可能にすること。
• 特にサーバー間通信コストが無視できるという実用的通信コスト仮定のもとで、アップロードおよびダウンロードコストを最適化すること。

提案手法

• 本方式は、有限体上での離散フーリエ変換（DFT）に基づく多項式符号化を用い、入力行列をN台のサーバーに分散配布する。
• 各行列は、行列要素から導かれる係数を持つ多項式として符号化され、有限体内のN乗根（単位根）で評価される。
• 多項式補間の性質と係数の機密性により、任意のT台の共謀サーバーでも元の行列を再構成できないことが保証される。
• 変換プロセスを通じて、(N, N−T, T)のシェアを(N, N−2T, T)のシェアに変換し、行列積の安全計算を可能にする。
• 中間結果および最終出力を秘密分散により保護するように設計された、符号化されたシェアを用いた行列乗算の安全計算プロトコルが考案される。
• 転置、逆行列計算、線形方程式系の解法などの演算を、安全な行列乗算のシーケンスに還元することで、複数の行列乗算やその他の演算への一般化が可能となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 既存手法と比較して顕著に低いアップロードコストを実現しつつ、T台の共謀サーバーに対しても完全なプライバシーを保証できる安全分散行列計算方式を設計可能か？
• RQ2 有限体上での離散フーリエ変換を活用して、SDMMにおけるアップロードコストを最小化する多項式符号化方式を構築可能か？
• RQ3 従来の方式では知られているトレードオフがあるにもかかわらず、SDMMにおいてアップロードコストとダウンロードコストを同時に最適化することは可能か？
• RQ4 提案された方式を、複数の行列乗算やその他の基本的行列演算を安全に計算できるように拡張可能か？
• RQ5 通信コストの増加を抑えながら、ストラグル耐性を方式に統合可能か？

主な発見

• 提案されたDFTに基づく多項式符号化方式は、アップロードコストが$ \chi_{UL} = \frac{N}{N-T} $に達し、これは既知の下界に一致するため、SDMMにおいて最適である。
• ダウンロードコストも$ \chi_{DL} = \frac{N}{N-T} $に最小化され、サーバー間通信コストが無視できるという仮定のもとで最適な性能を達成する。
• 本方式は、文脈上、ユーザー自身のデータを用いた計算において、ユーザーのプライバシーを確保する必要がなくなるため、最小限のアップロードコストを達成する。
• ストラグル耐性はグループ単位の耐性により実現可能であるが、それに伴いアップロードコストが増加する。
• 転置、逆行列計算、線形方程式系の解法などの演算を安全に実装することで、任意の行列多項式計算を安全に実行可能である。