[論文レビュー] Seiberg-Witten Theory and Integrable Systems

Eric D’Hoker, D. H. Phong|ArXiv.org|Mar 9, 1999

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 28被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、任意のゲージ代数 ${\cal G}$ に対して、${\cal N}=2$ スーパー対称ヤン・ミルズ理論に随伴ヒューパーマトリックスを含む場合と、古典的可積分系、特にねじれ楕円型カラゲロ・モーザー系との間に深い接続を確立する。任意のゲージ代数 ${\cal G}$ に対して、スペクトルパラメータを有するラクスペアを構成し、Seiberg-Witten微分と前具合が可積分系のスペクトル曲線と正則微分から導かれることを示し、$m\to0$ および $m\to\infty$ の極限で正確に一致することを確認する。

ABSTRACT

We summarize recent results on the resolution of two intimately related problems, one physical, the other mathematical. The first deals with the resolution of the non-perturbative low energy dynamics of certain N=2 supersymmetric Yang-Mills theories. We concentrate on the theories with one massive hypermultiplet in the adjoint representation of an arbitrary gauge algebra G. The second deals with the construction of Lax pairs with spectral parameter for certain classical mechanics Calogero-Moser integrable systems associated with an arbitrary Lie algebra G. We review the solution to both of these problems as well as their interrelation.

研究の動機と目的

• 任意のゲージ代数 ${\cal G}$ に対して、随伴表現に質量を持つハイパーマトリックスを有する ${\cal N}=2$ スーパー対称ヤン・ミルズ理論の非摂動的低エネルギー力学を解明すること。
• 任意のリ Lie 代数 ${\cal G}$ に関連する古典的カラゲロ・モーザー可積分系に対して、スペクトルパラメータを有するラクスペアを構成すること。
• ゲージ理論と可積分力学の間の明確な対応関係を確立し、Seiberg-Witten曲線と可積分系のスペクトル曲線を一致させること。
• 極限状態 $m\to0$（${\cal N}=4$ 理論に回帰）および $m\to\infty$（純粋ヤン・ミルズ理論に還元）における対応関係の整合性を検証すること。

提案手法

• ねじれ楕円型カラゲロ・モーザー系のラクス行列 $L(z)$ を用いて、$R(k,z) = \det(kI - L(z))$ の零点集合としてスペクトル曲線 $\Gamma$ を導出する。
• Seiberg-Witten微分を $d\lambda = k\,dz$ と定義し、これはスペクトル曲線 $\Gamma$ 上で単純極を持つ正則微分である。
• $d\lambda$ の $A$-サイクルおよび $B$-サイクルの周期を用いて、$a_i = \frac{1}{2\pi i} \oint_{A_i} d\lambda$、$a_{D i} = \frac{1}{2\pi i} \oint_{B_i} d\lambda$ により前具合 $\cal F$ を計算する。
• $m\to0$ の極限で、系が自由系に還元され、${\cal F} = \frac{\tau}{2} \sum a_i^2$ となることを示し、古典的 ${\cal N}=4$ 前具合と一致することを確認する。
• $m\to\infty$ の極限で、ねじれカラゲロ・モーザー系がアフィン双対代数 $({\cal G}^{(1)})^\vee$ のToda系に還元され、Seiberg-Witten曲線が既知の純粋ヤン・ミルズ理論のスペクトル曲線と一致することを示す。
• 前具合が重正則群方程式 $\partial{\cal F}/\partial\tau = H_{{\cal G}}^{twisted}(x,p)$ を満たすことを検証し、ゲージ理論のRGフローと可積分系のハミルトニアンを結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 随伴ヒューパーマトリックスを有する ${\cal N}=2$ スーパー対称ヤン・ミルズ理論の非摂動的低エネルギー有効作用を、可積分系を用いてどのように導出できるか。
• RQ2 Seiberg-Witten曲線と古典的可積分系のスペクトル曲線との間の正確な対応関係は何か。
• RQ3 ゲージ理論の $m\to0$ および $m\to\infty$ 極限が、可積分系からの既知の結果とどのように一致するか。
• RQ4 ゲージ理論の前具合が、スペクトル曲線上のSeiberg-Witten微分の周期から再構成可能か。
• RQ5 非単純的ラベル代数に対して、双対性およびモジュラー不変性が、ゲージ理論と可積分モデルの間の対応関係において果たす役割は何か。

主な発見

• リ代数 ${\cal G}$ に対するねじれ楕円型カラゲロ・モーザー系のスペクトル曲線 $\Gamma$ は、随伴ヒューパーマトリックスを有する ${\cal N}=2$ ゲージ理論のSeiberg-Witten曲線と一致する。
• Seiberg-Witten微分 $d\lambda = k\,dz$ は $\Gamma$ 上で正則で、単純極を持つ。その留数はハイパーマトリックスの質量 $m$ に関して線形であり、極の位置はモジュライに依存しない。
• $m\to0$ の極限で、前具合は ${\cal F} = \frac{\tau}{2} \sum_{i=1}^n a_i^2$ に簡略化され、古典的 ${\cal N}=4$ 結果と一致し、量子補正の不在を確認する。
• $m\to\infty$ の極限で、ねじれカラゲロ・モーザー系はアフィン双対代数 $({\cal G}^{(1)})^\vee$ のToda系に還元され、Seiberg-Witten曲線は既知の純粋ヤン・ミルズ理論のスペクトル曲線と一致する。
• 単純ラベル代数 ${\cal G}$ の場合、スペクトル曲線はモジュラー不変性を有する。非単純ラベル代数 ${\cal G}$ の場合、モジュラー群は $\Gamma_0(2)$ または $\Gamma_0(3)$ に制限され、双対性の性質と整合する。
• 前具合は重正則群方程式 $\partial{\cal F}/\partial\tau = H_{{\cal G}}^{twisted}(x,p)$ を満たし、ゲージ理論のRGフローと可積分系のハミルトニアンを結びつける。