[論文レビュー] Semi-infinite cohomology and Kazhdan-Lusztig equivalence at positive level

Chia-Cheng Liu|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2018

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、アーベル代数の正レベルにおける半無限コホモロジーと量子群コホモロジーの間の橋渡しを、新たに定義された正レベルのカジダン＝ルスティグファンクターを介して、アルヒポフ＝ゲイツォリー双対性を用いて確立する。主な結果は、半無限コホモロジーがこのファンクターおよび量子群コホモロジーを通じて因数分解されることを示し、カジダン＝ルスティグ同値関係を負のレベルを超えて一般化する新たな道筋を提供するとともに、量子局所幾何的ラングランズ対応を支持する。

ABSTRACT

A positive level Kazhdan-Lusztig functor is defined using Arkhipov-Gaitsgory duality for affine Lie algebras. The functor sends objects in the DG category of G(O)-equivariant positive level affine Lie algebra modules to objects in the DG category of modules over Lusztig's quantum group at a root of unity. We prove that the semi-infinite cohomology functor for positive level modules factors through the Kazhdan-Lusztig functor at positive level and the quantum group cohomology functor with respect to the positive part of Lusztig's quantum group.

研究の動機と目的

• アフィンリー代数の正レベルにおけるカジダン＝ルスティグファンクターを、アルヒポフ＝ゲイツォリー双対性を用いて定義すること。
• 半無限コホモロジーがこのファンクターおよび量子群コホモロジーを通じて因数分解されることを確立すること。
• 任意の非臨界レベルに対して有効である、カジダン＝ルスティグテンソル同値関係の新しいアプローチを提供すること。
• 正レベルにおけるカク＝ムーディおよび量子群の圏を結びつけることで、量子局所幾何的ラングランズ対応を支持すること。
• カジダン＝ルスティグ同値関係の適用範囲を負のレベルから、非臨界レベルすべてへと拡張すること（予想的）。

提案手法

• 本稿は、$G(\mathcal{O})$-不変なアフィンリー代数 $\hat{\mathfrak{g}}_{\kappa}$ 加群から、根の単位におけるルスティグの量子群 $U_q(\mathfrak{g})$ 加群への正レベルカジダン＝ルスティグファンクターを構成する。
• ファンクターは、ウィットナーカテゴリとカク＝ムーディカテゴリの間の双対性を活用したアルヒポフ＝ゲイツォリー双対性を用いて定義される。
• 半無限コホモロジー関手 $\mathfrak{C}^{\frac{\infty}{2}}(\mathfrak{n}(\mathcal{K}), -)$ が、カジダン＝ルスティグファンクターおよび量子群コホモロジー関手 $\textup{C}^{\bullet}(U_q(\mathfrak{n}), -)$ を通じて因数分解されることを示す。
• この因数分解は、$\hat{\mathfrak{g}}_{\kappa}\textup{-mod}^{G(\mathcal{O})}$、$\hat{\mathfrak{t}}_{\kappa+\textup{shift}}\textup{-mod}^{T(\mathcal{O})}$、$U_q(\mathfrak{g})\textup{-mod}$、および $\textup{Rep}_q(T)$ を含む可換図式を用いて証明される。
• 証明は、コンパクト生成カテゴリおよび、ドミナント整数的ウェイト $\lambda$ に対するウェイル加群 $\mathbb{V}^{\kappa}_{\lambda}$ のフル部分カテゴリのind完備化に依拠し、ルリエのindカテゴリ理論を用いる。
• コンパクト生成子上の一致と射の一致、特に $\kappa$ が無理数のときのウェイル加群の非可約性を用いて、図式の可換性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カジダン＝ルスティグ同値関係を負のレベルから任意の非臨界レベルへ一般化する方法は何か？
• RQ2 正レベルにおけるアフィンリー代数加群の半無限コホモロジーは、関手的構成を介して量子群コホモロジーと関係づけられるか？
• RQ3 正レベルにおけるアルヒポフ＝ゲイツォリー双対性は、$G(\mathcal{O})$-不変加群から量子群加群へリンクするwell-definedなカジダン＝ルスティグファンクターを生じるか？
• RQ4 半無限コホモロジーがカジダン＝ルスティグファンクターおよび量子群コホモロジーを通じて因数分解されることで、量子局所幾何的ラングランズ対応はどのように支持されるか？
• RQ5 半無限コホモロジーにおけるテートシフトの役割は何か？また、量子群側のレベルシフトにどのように影響を与えるか？

主な発見

• 正レベルの $G(\mathcal{O})$-不変加群 $M$ に対する半無限コホモロジー $\mathfrak{C}^{\frac{\infty}{2}}(\mathfrak{n}(\mathcal{K}), M)^{\mu}$ は、すべての重み $\mu$ に対して、量子群コホモロジー $\textup{C}^{\bullet}(U_q(\mathfrak{n}), \textup{KL}_G(M))^{\mu}$ に同型である。
• 正レベルにおけるカジダン＝ルスティグファンクター $\textup{KL}_G$ は、アルヒポフ＝ゲイツォリー双対性を用いて構成され、$\hat{\mathfrak{g}}_{\kappa}\textup{-mod}^{G(\mathcal{O})}$ から $U_q(\mathfrak{g})\textup{-mod}$ への写像であり、$\textup{KL}_G(\mathbb{V}^{\kappa}_{\lambda}) = \mathcal{V}_{\lambda}$ を満たす。
• 図式 (32) の可換性は、コンパクト生成子のフル部分カテゴリ、すなわちウェイル加群 $\mathbb{V}^{\kappa}_{\lambda}$ 上での2つの合成の一致を示すことにより確立され、$\kappa$ が無理数のときのこれらの加群の非可約性を用いる。
• 射の同型性は、両関手が $\mathbb{V}^{\kappa}_{\lambda}$ 上の恒等射を $\textup{Rep}_q(T)$ 内の対応するチェイン複体上の恒等射に写すことにより検証される。
• 半無限コホモロジーがカジダン＝ルスティグファンクターおよび量子群コホモロジーを通じて因数分解されることにより、任意の非臨界レベルに対して有効な、カジダン＝ルスティグ同値関係の新たな、おそらくより単純なアプローチが得られる。
• この結果は、カク＝ムーディ圏から正レベルにおける量子群圏への橋渡しを提供することで、量子局所幾何的ラングランズ対応を支持する。臨界レベルは退化した場合として扱われる。