[論文レビュー] Semi-invariant submersions from almost Hermitian manifolds

Bayram Şahin|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2010

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ほぼヘルミート多様体からリーマン多様体への半不変リーマン被覆を導入し、反不変およびほぼヘルミート被覆を一般化する。全空間が局所的に積多様体であるための幾何的条件を確立し、全測地的被覆を特徴づけ、複素空間形上に全縁付きの包絡線をもつ半不変被覆では曲率がゼロ（c=0）でなければならないことを証明する。分類により、包絡線が全測地的であるか、水平分布が1次元であることが示される。

ABSTRACT

We introduce semi-invariant Riemannian submersions from almost Hermitian manifolds onto Riemannian manifolds. We give examples, investigate the geometry of foliations which are arisen from the definition of a Riemannian submersion and find necessary-sufficient conditions for total manifold to be locally product Riemannian manifold. We also find necessary and sufficient conditions for a semi-invariant submersion to be totally geodesic. Moreover, we obtain a classification for semi-invariant submersions with totally umbilical fibers and show that such submersions put some restrictions on total manifolds.

研究の動機と目的

• ほぼヘルミート多様体からの半不変リーマン被覆を導入することで、反不変およびほぼヘルミート被覆を一般化すること。
• 被覆によって誘導されるfoliationの幾何を調査し、特に葉の統合可能性および幾何的構造を特徴づけること。
• 全空間が局所的に積リーマン多様体であるための必要十分条件を導出すること。
• このような被覆が全測地的であるための条件を特定すること。
• 全縁付き包絡線をもつ半不変被覆を分類し、その曲率制約を分析すること。

提案手法

• 半不変リーマン被覆を、垂直分布が反不変であり、水平分布がほぼ複素構造に関して不変であるようなリーマン被覆として定義する。
• O’Neillのテンソル𝒜と𝒯を用いて被覆の幾何を分析し、曲率関係を導出する。
• 複素空間形の曲率テンソルを適用し、包絡線が全縁付きのとき、全空間の曲率を制約する。
• 平均曲率ベクトル場Hを用い、テンソリアル恒等式と構造方程式を用いて、それがJ𝒟₂に属することを示す。
• 接バンドルの分解：kerF*、(kerF*)⊥、およびJ不変部分バンドル𝒟₂を活用する。
• 特定のテンソリアル成分の消滅と分布の直交性を分析することで分類定理を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半不変被覆の全空間がどのような条件下で局所的に積リーマン多様体となるか？
• RQ2 半不変被覆が全測地的であるための必要十分条件は何か？
• RQ3 半不変被覆が複素空間形上に全縁付き包絡線をもつとき、どのような曲率制約が生じるか？
• RQ4 このような被覆における包絡線の平均曲率ベクトル場Hの振る舞いはいかなるものか？
• RQ5 全縁付き包絡線をもつ半不変被覆に対して、どのような分類が可能か？

主な発見

• 全空間が局所的に積リーマン多様体であるのは、F*の共変微分、テンソル𝒜と𝒯、および分布kerF*と(kerF*)⊥に関係する特定のテンソリアル条件がすべて消えるときかつそのときに限る。
• 半不変被覆が全測地的であるのは、関連する分布上でテンソル𝒜と𝒯が消えるときかつそのときに限る。
• 半不変被覆が全縁付き包絡線をもち、全空間が複素空間形であるならば、曲率はゼロ（c=0）でなければならない。
• 包絡線の平均曲率ベクトル場Hは、J不変部分バンドルJ𝒟₂に属する。これは包絡線の幾何的構造を制限する。
• ケーラー多様体上に全縁付き包絡線をもつ半不変被覆では、水平分布𝒟₂が1次元であるか、包絡線が全測地的でなければならない。