[論文レビュー] Semianalytical solutions of Ising-like and Potts-like magnetic polymers on the Bethe lattice

Nathann T. Rodrigues, Tiago J. Oliveira|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2022

Theoretical and Computational Physics参考文献 78被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、Bethe格子上におけるイジング型およびポツ型磁性ポリマーの半解析的解を提示し、スピン依存相互作用を伴う自己回避的ウォークをモデル化する。ポリマーの収縮転移と磁性秩序のカップリングが生じる豊かな相挙動が明らかとなり、スピン状態数qとモデルの種類に応じて、臨界転移と一次転移が三臨界点および臨界終点によって分離される。

ABSTRACT

We study magnetic polymers, defined as self-avoiding walks where each monomer $i$ carries a "spin'' $s_i$ and interacts with its first neighbor monomers, let us say $j$, via a coupling constant $J(s_i,s_j)$. Ising-like [$s_i = \pm 1$, with $J(s_i,s_j) = \varepsilon s_i s_j$] and Potts-like [$s_i = 1,\ldots,q$, with $J(s_i,s_j)=\varepsilon_{s_i} \delta(s_i,s_j)$] models are investigated. Some particular cases of these systems have recently been studied in the continuum and on regular lattices, and are related to interesting applications. Here, we solve these models on Bethe lattices of ramification $\sigma$, focusing on the ferromagnetic case in zero external magnetic field. In most cases, the phase diagrams present a non-polymerized (NP) and two polymerized phases: a paramagnetic (PP) and a ferromagnetic (FP) one. However, quite different thermodynamic properties are found depending on $q$ in the Potts-like polymers and on whether one uses the Ising or Potts coupling in the two-state systems. Importantly, these results indicate that when $q\le 6$ the spin ordering transition is preceded by the polymer collapse transition, whereas for $q\ge 7$ and in the Ising case these transitions happen together at critical-end-points. Some interesting non-standard Potts models are also studied, such as the lattice version of the model for epigenetic marks in the chromatin introduced in [PRX {\bf 6}, 041047 (2016)]. In addition, the solution of the dilute Ising and dilute Potts models on the Bethe lattice are also presented here, once they are important to understand the PP-FP transitions.

研究の動機と目的

• Bethe格子上における自己回避的ウォークを伴うスピンを有するポリマーにおけるポリマー収縮と磁性秩序の相互作用を調査すること。
• スピン状態数qと結合タイプ（イジング型対ポツ型）が相転移の性質と臨界性に与える影響を特定すること。
• 磁性ポリマーの相図における三臨界点および多臨界点を同定すること。
• 希釈イジングおよびポツモデル、およびエピジェネティクス系に関連する非標準的ポツモデルへの解析を拡張すること。
• 柔軟な磁性材料におけるコンformationalおよび磁性転移のカップリングを理解するための半解析的フレームワークを提供すること。

提案手法

• 分岐数σを有するBethe格子を用いて、再帰的転送行列法を用いて分配関数をマッピングする。
• 分配関数およびスピン相関の再帰的関係から自由エネルギーおよび秩序パラメータを導出する。
• 自己回避性制約とスピン相互作用を扱うために、レプリカ法および平均場近似を用いる。
• q = 2 から q = 7 のさまざまなq値について数値的に解き、イジング型（q=2）とポツ型（q≥2）結合を比較する。
• 再帰的関係における固定点の安定性を用いて相境界を特定し、熱力学的量の不連続性を分析して転移の性質を評価する。
• 非標準的ポツモデル（PRX 6, 041047 (2016) に掲載されたクロマチンエピジェネティックモデルを含む）への適用を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ポツ型磁性ポリマーにおけるスピン状態数qが、ポリマー収縮転移および磁性秩序転移の性質にどのように影響を与えるか？
• RQ2 結合タイプ（イジング型対ポツ型）が、NP-PPおよびPP-FP転移の臨界性と転移の性質に果たす役割は何か？
• RQ3 三臨界点および臨界終点が相図に出現するか？また、それらはqに依存するか？
• RQ4 どのqの値において、磁性秩序転移がポリマー収縮転移よりも先に起こるか、または同時に起こるか？
• RQ5 Bethe格子上における希釈イジングおよびポツモデルの相図は、完全に相互作用するモデルとどのように比較されるか？

主な発見

• 標準的ポツモデルにおけるq = 2の場合、臨界的かつ不連続的NP-PP転移ラインが一致するθ点が存在し、その後に臨界的かつ不連続的NP-FP転移を結ぶ三臨界点が続く。
• q ≤ 6 の場合、NP-PP、NP-FP、PP-FPの一次転移ラインが共存する三重点が存在する。
• q ≥ 7 およびイジング型（q=2）の場合、θ点は力学的に不安定となり、臨界的NP-PP転移は臨界終点（CEP）で終了する。CEPではNP-FPおよびPP-FPの共存ラインが交差する。
• q ≥ 7 およびイジング型の場合、ポリマー収縮と磁性秩序転移はCEPで同時に起こり、単一の臨界点を示す。
• q ≤ 6 の場合、ポリマー収縮転移（NP-PP）が磁性秩序転移（PP-FP）よりも先に起こり、逐次的転移が生じる。
• Bethe格子上における希釈イジングおよびポツモデルの解は、PP-FP転移のシナリオの頑健性を確認し、観察された多臨界的挙動を支持する。