[論文レビュー] Semiclassical analysis of the Loop Quantum Gravity volume operator: I. Flux Coherent States

Cecilia Flori, Thomas Thiemann|ArXiv.org|Dec 8, 2008

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 65被引用数 26

ひとこと要約

この論文は、複素化子法から導かれたフラックスコherent状態を用いて、ループ量子重力（LQG）の半古典的挙動における体積演算子の性質を調査している。半古典的極限において、唯一、立方体（六価）トポロジーを持つグラフが古典的体積値を再現することを示しており、これはLQGの半古典的領域が本質的に立方体スピンネットワークに依存していることを示唆する。これは、四価グラフに基づくスピンフォームモデルに影響を与える。

ABSTRACT

The volume operator plays a pivotal role for the quantum dynamics of Loop Quantum Gravity (LQG), both in the full theory and in truncated models adapted to cosmological situations coined Loop Quantum Cosmology (LQC). It is therefore crucial to check whether its semiclassical limit coincides with the classical volume operator plus quantum corrections. In the present article we investigate this question by generalizing and employing previously defined coherent states for LQG which derive from a cylindrically consistently defined complexifier operator which is the quantization of a known classical function. These coherent states are not normalizable due to the non separability of the LQG Hilbert space but they define uniquely define cut off states depending on a finite graph. The result of our analysis is that the expectation value of the volume operator with respect to coherent states depending on a graph with only n valent verticies reproduces its classical value at the phase space point at which the coherent state is peaked only if n = 6. In other words, the semiclassical sector of LQG defined by those states is described by graphs with cubic topology! This has some bearing on current spin foam models which are all based on four valent boundary spin networks.

研究の動機と目的

• LQG体積演算子が半古典的極限において古典的体積に還元されるかどうかを検証すること。
• 特にフラックスコherent状態を用いたLQGの半古典的領域を探索する際の有効性を評価すること。
• 体積演算子の整合的な半古典的極限を支持するグラフトポロジーを特定すること。
• この結果が、通常四価グラフを仮定するスピンフォームモデルに与える影響を調査すること。

提案手法

• 著者たちは、古典関数から導かれた、円筒的整合性を持つ複素化子作用素を用いて構築されたフラックスコherent状態を用いる。
• LQGの非分離的ヒルベルト空間に対処するため、有限グラフ上にカットオフ状態を定義する。
• 期待値は、双対セル複体（正四面体、立方体、正八面体）におけるこれらのcoherent状態に関して体積演算子の期待値を計算する。
• 解析は、頂点の次数とグラフの幾何的性質に依存する体積期待値の依存性に焦点を当てる。
• 体積演算子の行列要素の閉形式表現（6j記号を用い、テレスコピング和の技法を応用）に依存する。
• 半古典的整合性は、coherent状態がピークを示す位相空間点における期待値と古典的体積を比較することでテストする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フラックスcoherent状態に関する体積演算子の期待値が、どのグラフトポロジーで古典的体積値を再現するか？
• RQ2 なぜ体積演算子の半古典的極限が、頂点が六価である場合にのみ古典的値と一致するのか？
• RQ3 正則化の選択（例：立方体対正四面体）が、体積演算子の半古典的挙動にどのように影響するか？
• RQ4 体積演算子のスペクトル分解とフラックスの量子化の構造から、立方体グラフの好ましさを説明できるか？
• RQ5 この結果が、四価グラフを境界スピンネットワークとして仮定するスピンフォームモデルの境界ヒルベルト空間に与える影響は何か？

主な発見

• フラックスcoherent状態に関する体積演算子の期待値は、頂点が六価であるグラフでのみ、古典的体積値を再現する。
• 四価グラフでは、体積期待値が古典的値から著しくずれ、半古典的挙動が著しく劣っていることが示された。
• この結果は正則化手順に依存しない。円筒的整合性と背景独立性により、体積演算子はグローバル定数を除き一意に固定されるからである。
• 体積演算子のエッジの三重項の和に起因する幾何的制約のため、立方体トポロジーが唯一、整合的な半古典的極限を実現可能なグラフ構造として浮き彫りになった。
• この分析から、現在の四価グラフを境界に仮定するスピンフォームモデルは、一般のトライアングレーションを含むように拡張されない限り、LQGの正しい半古典的領域を捉えていない可能性がある。
• 立方体グラフの好ましさは、正則化のアーティファクトではなく、体積演算子の内在的構造と、頂点における線形独立なエッジ三重項への依存性に起因する。