[論文レビュー] Semicrossed products of operator algebras and their C*-envelopes

Evgenios T. A. Kakariadis, Elias G. Katsoulis|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2010

Advanced Operator Algebra Research参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、C*-包絡上に*-自己同型に拡張可能な単位的作用素代数 ${\mathcal{A}}$ とその自己同型 $\alpha$ に対する等長的半交叉積を導入する。この等長的半交叉積のC*-包絡が、${\mathcal{A}}$ のC*-包絡と $\alpha$ による交叉積と同型であることを証明し、半交叉積とそのC*-包絡の関係に関する重要な問いに答えを提示する。この結果は、非可換ディスク代数に関する以前の知見を一般化し、C*-対応のテンソル代数へと拡張される。

ABSTRACT

Let $\A$ be a unital operator algebra and let $α$ be an automorphism of $\A$ that extends to a *-automorphism of its $\ca$-envelope $\cenv (\A)$. In this paper we introduce the isometric semicrossed product $\A imes_α^{\is} \bbZ^+ $ and we show that $\cenv(\A imes_α^{\is} \bbZ^+) \simeq \cenv (\A) imes_α \bbZ$. In contrast, the $\ca$-envelope of the familiar contractive semicrossed product $\A imes_α \bbZ^+ $ may not equal $\cenv (\A) imes_α \bbZ$. Our main tool for calculating $\ca$-envelopes for semicrossed products is the concept of a relative semicrossed product of an operator algebra, which we explore in the more general context of injective endomorphisms. As an application, we extend a recent result of Davidson and Katsoulis to tensor algebras of $\ca$-correspondences. We show that if $\T_{\X}^{+}$ is the tensor algebra of a $\ca$-correspondence $(\X, \fA)$ and $α$ a completely isometric automorphism of $\T_{\X}^{+}$ that fixes the diagonal elementwise, then the contractive semicrossed product satisfies $ \cenv(\T_{\X}^{+} imes_α \bbZ^+)\simeq Ø_{\X} imes_α \bbZ$, where $Ø_{\X}$ denotes the Cuntz-Pimsner algebra of $(\X, \fA)$.

研究の動機と目的

• 作用素代数の異なる種類の半交叉積とそのC*-包絡の関係を明確化すること。
• 等長的半交叉積と収縮的半交叉積が一致する条件を確立すること。
• 特に自己同型 $\alpha$ が代数のC*-包絡上に拡張される場合に、半交叉積のC*-包絡を計算すること。
• DavidsonとKatsoulis（2013）が非可換ディスク代数に対して得た主要な結果を、C*-対応のテンソル代数へ一般化すること。

提案手法

• ${\mathcal{A}}$ と $\alpha$ を実装する等長的自己同型によって生成される普遍作用素代数として、等長的半交叉積 ${\mathcal{A}} \times_{\alpha}^{\text{is}} \mathbb{Z}^+$ を定義する。
• 単射自己準同型の一般化として相対的半交叉積を定義し、等長的および収縮的構成法の比較を可能にする。
• 普遍的半交叉積の概念と具体的な表現を用いて、得られる代数の構造を分析する。
• 完全に収縮的写像に対するシュバルツの不等式を用い、表現における行列成分を分析し、重要な消去に関する主張を証明する。
• 等長的表現の列を構成し、強作用素位相の極限を用いて無限大の直和へと表現を拡張し、共変性を保つ。
• 完全等長的自己同型の下で等長的および相対的半交叉積が一致することを示す定理2.6を適用し、C*-包絡に関する主要な結果を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 作用素代数の等長的半交叉積と収縮的半交叉積が一致する条件は何か？
• RQ2 半交叉積のC*-包絡は、元の代数のC*-包絡による交叉積とどのように関係するか？
• RQ3 完全等長的自己同型の下で、C*-対応のテンソル代数のC*-包絡は、そのCuntz-Pimsner代数の交叉積と同一視できるか？
• RQ4 自己同型がC*-包絡上に拡張されることにより、半交叉積の構造がどのように決定されるか？

主な発見

• 自己同型 $\alpha$ が ${\mathcal{A}}$ のC*-包絡上に*-自己同型に拡張できる場合、等長的半交叉積 ${\mathcal{A}} \times_{\alpha}^{\text{is}} \mathbb{Z}^+$ のC*-包絡は $\mathrm{C}^*_{\text{env}}({\mathcal{A}}) \times_{\alpha} \mathbb{Z}$ と同型である。
• 任意の単位的作用素代数 ${\mathcal{A}}$ と ${\mathcal{A}}$ の完全等長的自己同型 $\alpha$ に対して、等長的半交叉積と相対的半交叉積は一致する。
• C*-対応 $({\mathcal{X}}, {\mathfrak{A}})$ のテンソル代数 ${\mathcal{T}}_{{\mathcal{X}}}^{\text{+}}$ に対して、自己同型 $\alpha$ が ${\mathfrak{A}}$ を点ごとに固定する場合、${\mathcal{T}}_{{\mathcal{X}}}^{\text{+}} \times_{\alpha}^{\text{is}} \mathbb{Z}^+ \simeq {\mathcal{T}}_{{\mathcal{X}}}^{\text{+}} \times_{\alpha} \mathbb{Z}^+$ が成り立つ。
• 収縮的半交叉積 ${\mathcal{T}}_{{\mathcal{X}}}^{\text{+}} \times_{\alpha} \mathbb{Z}^+$ のC*-包絡は、$({\mathcal{X}}, {\mathfrak{A}})$ のCuntz-Pimsner代数 ${\mathcal{O}}_{{\mathcal{X}}}$ と $\alpha$ による交叉積 ${\mathcal{O}}_{{\mathcal{X}}} \times_{\alpha} \mathbb{Z}$ と同型である。
• 等長的表現の強作用素位相における極限を用いた証明技法により、元の系を拡張する完全に収縮的な表現を構成でき、C*-包絡の同定が可能になる。