[論文レビュー] Semistable Higgs bundles, periodic Higgs bundles and representations of algebraic fundamental groups

Guitang Lan, Mao Sheng+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 28被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、Witt環 $W(k)$ 上の滑らかで射影的なスキーム $X$ 上の周期的 Higgs-de Rham フローと Fontaine モジュールの間の同型を確立し、特異ファイバー上のランク $\leq p$ の半安定 Higgs バンドルを、エタール基本群 $\pi_1(X_K)$ のクリスタリン表現と結びつける。また、切断された Witt 環上に逆 Cartier 変換を構成し、このような Higgs バンドルが半安定 Higgs-de Rham フローを開始し、チャーン類が消えると $k$-表現をもたらすことを証明する。

ABSTRACT

Let $k $ be the algebraic closure of a finite field of odd characteristic $p$ and $X$ a smooth projective scheme over the Witt ring $W(k)$ which is geometrically connected in characteristic zero. We introduce the notion of Higgs-de Rham flow and prove that the category of periodic Higgs-de Rham flows over $X/W(k)$ is equivalent to the category of Fontaine modules, hence further equivalent to the category of crystalline representations of the étale fundamental group $π_1(X_K)$ of the generic fiber of $X$, after Fontaine-Laffaille and Faltings. Moreover, we prove that every semistable Higgs bundle over the special fiber $X_k$ of $X$ of rank $\leq p$ initiates a semistable Higgs-de Rham flow and thus those of rank $\leq p-1$ with trivial Chern classes induce $k$-representations of $π_1(X_K)$. A fundamental construction in this paper is the inverse Cartier transform over a truncated Witt ring. In characteristic $p$, it was constructed by Ogus-Vologodsky in the nonabelian Hodge theory in positive characteristic; in the affine local case, our construction is related to the local Ogus-Vologodsky correspondence of Shiho.

研究の動機と目的

• 滑らかで射影的な $W(k)$ 上のスキームの特異ファイバー上のランクが小さい半安定 Higgs バンドルと、エタール基本群 $\pi_1(X_K)$ のクリスタリン表現との間の対応を確立すること。
• ランク 0 の半安定 Higgs バンドルが $p$-進設定において真の表現から生じるかどうかという未解決問題を解消すること。
• Higgs モジュールを正の特性から混合特性へ上げるための主要技術的道具として、切断された Witt 環上に逆 Cartier 変換を構成すること。
• ランク $\leq p$ でチャーン類が自明な半安定 Higgs バンドルが、Higgs-de Rham フローを介して $\pi_1(X_K)$ の $k$-表現をもたらすことを証明すること。
• Higgs-de Rham フロー形式論を用いて、正の特性における Ogus-Vologodsky の非アーベル Hodge 対応を混合特性へ一般化すること。

提案手法

• 逆 Cartier 変換の繰り返し応用により Higgs バンドルと平坦接続を結ぶ動的系として Higgs-de Rham フローの概念を導入する。
• 切断された Witt 環 $W_n(k)$ 上に逆 Cartier 変換を構成し、Ogus-Vologodsky 対応を混合特性へ一般化する。
• 逆 Cartier 変換を用いて、正の特性におけるノネパotent Higgs モジュールを、混合特性における平坦モジュールへ上昇させ、半安定性を保つ。
• Fontaine モジュールの理論と Griffiths トランスバースフィルトレーションを用いて、平坦モジュールにフィルトレーションを構成し、その関連層がノネパotent で半安定な Higgs モジュールとなるようにする。
• 繰り返し $ξ$-作用素を適用するフィルトレーション列が、有限ステップで gr-半安定フィルトレーションに収束することを証明し、Higgs-de Rham フローの存在を保証する。
• Fontaine モジュールとクリスタリン表現の同型（Fontaine-Laffaille および Faltings を介して）を活用し、Higgs-de Rham フローと $\pi_1(X_K)$ の表現を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかで射影的な $W(k)$ 上のスキーム $X$ の特異ファイバー $X_k$ 上のランク $\leq p$ の半安定 Higgs バンドルは、すべて Higgs-de Rham フローを開始するか？
• RQ2 $X_k$ 上のチャーン類が自明な半安定 Higgs バンドルは、エタール基本群 $\pi_1(X_K)$ の $k$-表現を生じるか？
• RQ3 半安定 Higgs バンドルが真の表現から来ることを実現する $p$-進版の Hitchin-Simpson 対応は存在するか？
• RQ4 正体が完全体の場合に限らない逆 Cartier 変換を、$W_n(k)$ に一般化することで、混合特性構成を可能にするにはどうすればよいか？
• RQ5 フィルトレーション上の $\xi$-作用素は、半安定 Higgs バンドルから安定な Higgs-de Rham フローを構成する際に果たす役割は何か？

主な発見

• $X/W(k)$ 上の周期的 Higgs-de Rham フローの圏は、Fontaine モジュールの圏と同型であり、したがって $\pi_1(X_K)$ のクリスタリン表現の圏とも同型である。
• ランク $\leq p$ の $X_k$ 上のすべての半安定 Higgs バンドルは、Higgs-de Rham フローを開始する。これは、幾何的データからこのようなフローの存在を保証する。
• ランク $\leq p-1$ でチャーン類が自明な $X_k$ 上の半安定 Higgs バンドルは、関連する Higgs-de Rham フローを介して $\pi_1(X_K)$ の $k$-表現をもたらす。
• $W_n(k)$ 上の逆 Cartier 変換は、主要な技術的道具として構成され、Ogus-Vologodsky 対応を混合特性へ一般化する。
• $ξ$-作用素によるフィルトレーションの繰り返し適用は、有限ステップで gr-半安定フィルトレーションに収束する。これにより Higgs-de Rham フローの収束が保証される。
• $W_n(k)$ 上の逆 Cartier 変換の構成は、アフィンの場合に Shiho によって確立された局所的 Ogus-Vologodsky 対応と整合する。