[論文レビュー] Sequential and Parallel Algorithms for the Addition of Big-Integer Numbers

Youssef Bassil, Aziz Barbar|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2012

Parallel Computing and Optimization Techniques参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

この論文では、個々のビットではなく60ビットのブロックを処理する逐次的および並列的アルゴリズムを提示しており、大幅な性能向上を実現している。60ビットのチャンクにおけるワードレベルの演算を活用することで、ビットレベルの方法と比較して60倍の高速化を達成しており、並列バージョンは複数の処理ユニットを用いることでさらに計算を高速化している。

ABSTRACT

Today's PCs can directly manipulate numbers not longer than 64 bits because the size of the CPU registers and the data-path are limited. Consequently, arithmetic operations such as addition, can only be performed on numbers of that length. To solve the problem of computation on big-integer numbers, different algorithms were developed. However, these algorithms are considerably slow because they operate on individual bits; and are only designed to run over single-processor computers. In this paper, two algorithms for handling arithmetic addition on big-integer numbers are presented. The first algorithm is sequential while the second is parallel. Both algorithms, unlike existing ones, perform addition on blocks or tokens of 60 bits (18 digits), and thus boosting the execution time by a factor of 60.

研究の動機と目的

• 個々のビットで処理する従来の大整数算術における性能ボトルネックを解消すること。
• 64ビットCPUレジスタが小規模な整数に限定してネイティブ算術を提供するという制限を克服すること。
• 単一プロセッサおよびマルチコア環境の両方に対応できるスケーラブルな大整数加算のソリューションを設計すること。
• 個々のビットではなくより大きなチャンク（60ビット）でデータを処理することで実行時間を短縮すること。
• 暗号化や科学計算など、任意精度算術を必要とするアプリケーションにおける高速な計算を可能にすること。

提案手法

• 現代のCPUの64ビットワードサイズを活用し、大整数を60ビットのブロックに分割して処理する。
• 隣接するブロック間でのオーバーフロー伝播を伴う、ブロック単位で加算を実行する逐次的アルゴリズムを実装する。
• 大整数を複数のブロックに分割し、それぞれを別々の処理ユニットに割り当てる並列アルゴリズムを設計する。
• ブロック間のオーバーフロー伝播を並列で効率的に計算するために、並列プレフィックス和の技術を用いる。
• ブロック単位の処理中にオーバーヘッドを最小限に抑えるために、メモリアクセスとデータアラインメントを最適化する。
• 固定サイズのブロックで動作させながらも、標準的な算術の意味論を保つことで正しさを確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ビットレベルの演算を避けることで、大整数加算をどのように高速化できるか？
• RQ2 逐次的加算において、個々のビットではなく60ビットブロックを処理することで、どの程度の性能向上が得られるか？
• RQ3 マルチコアアーキテクチャ上で大整数加算を並列化することで、顕著な高速化を達成できるか？
• RQ4 複数のブロックにまたがる並列処理において、オーバーフロー伝播を効率的に計算する方法は何か？
• RQ5 従来のビットレベル手法と比較して、ブロックベースの加算の理論的および実用的性能向上はどの程度か？

主な発見

• 提案されたブロックベースのアプローチは、1回の演算で60ビットを処理できるため、ビットレベル加算と比較して60倍の高速化を達成している。
• 逐次アルゴリズムは、ワードサイズのチャンクによる処理で低レベル演算の数を削減し、性能が向上している。
• 並列アルゴリズムは、利用可能なプロセッサにブロック処理を分散させることで、マルチコアシステム上で顕著な高速化を実現している。
• オーバーフロー伝播は並列プレフィックス和を用いて効率的に管理されており、スケーラブルかつ正しく並列加算が可能になっている。
• これらのアルゴリズムは実用的で効率的であり、逐次版は従来のビットレベル手法を上回る性能を示し、並列版はプロセッサ数に応じて良好にスケーリングする。
• このアプローチは、暗号プロトコルや数値シミュレーションなど、任意精度算術を必要とする実世界のアプリケーションに適用可能である。