[論文レビュー] Seshadri Constants and Fujita's Conjecture via Positive Characteristic Methods

Takumi Murayama|arXiv (Cornell University)|May 9, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 160被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、フロベニウス準同型とテストイデアルを用いた正標数の方法を用いて、セーシャドリ定数とフジタの予想の間の新しい関係を確立する。ガンマ構成とF特異点を活用することで、滑らかで射影的な多様体において、十分にアンピールな線分束の下でフジタの予想が正標数で成り立つことを証明し、F純粋性と乗数イデアルを用いた射影空間の新しい幾何的特徴付けを提示する。

ABSTRACT

In 1988, Fujita conjectured that there is an effective and uniform way to turn an ample line bundle on a smooth projective variety into a globally generated or very ample line bundle. We study Fujita's conjecture using Seshadri constants, which were first introduced by Demailly in 1992 with the hope that they could be used to prove cases of Fujita's conjecture. While examples of Miranda seemed to indicate that Seshadri constants could not be used to prove Fujita's conjecture, we present a new approach to Fujita's conjecture using Seshadri constants and positive characteristic methods. Our technique recovers some known results toward Fujita's conjecture over the complex numbers, without the use of vanishing theorems, and proves new results for complex varieties with singularities. Instead of vanishing theorems, we use positive characteristic techniques related to the Frobenius-Seshadri constants introduced by Mustaţă-Schwede and the author. As an application of our results, we give a characterization of projective space using Seshadri constants in positive characteristic, which was proved in characteristic zero by Bauer and Szemberg.

研究の動機と目的

• . 正標数代数幾何学を用いたフジタの予想に対する新しい手法の確立。
• . 正標数においてF純粋性と乗数イデアルを用いた射影空間の特徴付け。
• . セーシャドリ定数がフロベニウスおよびテストイデアル技法によって制御可能であることを証明。
• . de Fernex–K"uronya–Lazarsfeldのアンピール性基準を正標数の設定に拡張。
• . G-環上における有限型のスキームにおけるF純粋性の集合が開であることの証明。

提案手法

• . 完全局小環上のスキームをF有限な設定に上げるためにガンマ構成を適用。
• . フロベニウス準同型とそのトレースを用いて、F純粋性やF正則性などのF特異点を定義。
• . テストイデアルと乗数イデアルを用いて特異点を測定し、消滅定理を制御。
• . グローテンディーク双対性と双対複体を用いて、正標数におけるコホロロジー的不変量を分析。
• . F特異点における鳩の巣原理を用いて、フロベニウス巾の挙動を制御。
• . 再帰的群作用と等変な解消の理論を用いて、局所的な状況に還元。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 . フロベニウス法を用いて、正標数におけるフジタの予想を証明できるか？
• RQ2 . セーシャドリ定数は、フロベニウスおよびF特異点の下でどのように振る舞うか？
• RQ3 . G-環上における有限型スキームにおけるF純粋性の集合は開いか？
• RQ4 . 完全局小環上の環に対して、強いF正則性と分割可能なF正則性は一致するか？
• RQ5 . de Fernex–K"uronya–Lazarsfeldのアンピール性基準を正標数に拡張できるか？

主な発見

• . 滑らかで射影的な多様体において、線分束が十分にアンピールなとき、F特異点とガンマ構成を用いることで、正標数におけるフジタの予想が成り立つ。
• . G-環上における有限型スキームにおいて、F純粋性の集合は正標数で開である。これは重要な技術的結果である。
• . 正標数の完全局小環上における有限型環に対して、強いF正則性は分割可能なF正則性を含む。
• . ガンマ構成により、F特異点がよく振る舞い、かつ基底変換に関して保存されるF有限な設定へのスキームの上げが可能である。
• . F特異点とテストイデアルを用いて、セーシャドリ定数を下から抑えられ、正標数における新しい幾何的不変量が得られる。
• . 本稿は、十分なF特異点条件を満たすアンピールな線分束を持つ滑らかで射影的な多様体が射影空間に同型であることを証明した。