[論文レビュー] Settling SETH vs. Approximate Sparse Directed Unweighted Diameter (up to (NU)NSETH)

Ray Li|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2020

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 47被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、強い指数時間仮説（SETH）およびその変種のもとで、スパースな有向無重みグラフの直径の近似について、タイトな条件付き下界を確立する。SETHのもとでは、有向グラフに対して近線形時間の $2 - \varepsilon$-近似アルゴリズムが存在しないことを示し、標準的な2-近似が最適であることを証明する。本研究は、NSETHおよびNUNSETHまでの決定的および確率的SETHに基づく還元の限界を特定し、直径近似の細粒度計算複雑性に関する長年の未解決問題を解決する。

ABSTRACT

We prove several tight results on the fine-grained complexity of approximating the diameter of a graph. First, we prove that, for any $\varepsilon>0$, assuming the Strong Exponential Time Hypothesis (SETH), there are no near-linear time $2-\varepsilon$-approximation algorithms for the Diameter of a sparse directed graph, even in unweighted graphs. This result shows that a simple near-linear time 2-approximation algorithm for Diameter is optimal under SETH, answering a question from a survey of Rubinstein and Vassilevska-Williams (SIGACT '19) for the case of directed graphs. In the same survey, Rubinstein and Vassilevska-Williams also asked if it is possible to show that there are no $2-\varepsilon$ approximation algorithms for Diameter in a directed graph in $O(n^{1.499})$ time. We show that, assuming a hypothesis called NSETH, one cannot use a deterministic SETH-based reduction to rule out the existence of such algorithms. Extending the techniques in these two results, we characterize whether a $2-\varepsilon$ approximation algorithm running in time $O(n^{1+δ})$ for the Diameter of a sparse directed unweighted graph can be ruled out by a deterministic SETH-based reduction for every $δ\in(0,1)$ and essentially every $\varepsilon\in(0,1)$, assuming NSETH. This settles the SETH-hardness of approximating the diameter of sparse directed unweighted graphs for deterministic reductions, up to NSETH. We make the same characterization for randomized SETH-based reductions, assuming another hypothesis called NUNSETH. We prove additional hardness and non-reducibility results for undirected graphs.

研究の動機と目的

• 強い指数時間仮説（SETH）のもとで、スパースな有向無重みグラフの直径に対する近線形時間 $2 - \varepsilon$-近似アルゴリズムが存在するかどうかを解明すること。
• ルビンスタインとヴァシレフスカ＝ウィリアムズ（2019年）が提起した未解決問題に取り組むこと：2-近似の最適性と、$O(n^{1.499})$ 時間での $2 - \varepsilon$-近似アルゴリズムの存在。
• NSETHおよびNUNSETHのもとで、$\delta \in (0,1)$ および $\varepsilon \in (0,1)$ のどの値についても、決定的または確率的SETHに基づく還元によって、$O(n^{1+\delta})$ 時間での $2 - \varepsilon$-近似が不可能であることを同定すること。
• 分析を無向グラフへと拡張し、追加の困難性および非還元可能性の結果を証明すること。

提案手法

• 3-直交ベクトル（3-OV）問題に還元することで、3-OVに解が存在しない場合には直径が3、解が存在する場合には直径が5以上となるスパースな有向無重みグラフを構築する。
• 集合 $S$、$X$、$Y$ からなる3部グラフを構築し、$S$ の頂点はベクトルのペアを表し、$X$ および $Y$ の頂点は特定の接続ルールに従ってベクトルの要素に基づいて接続されるインデックスの三つ組を表す。
• 三角不等式と経路長の解析を用いて、解が存在しない場合には直径が3で抑えられ、解が存在する場合には4を超えることを示し、直交制約によって短い経路が遮断されることに依存する。
• SETHに基づく還元を用いて、近線形時間での $2 - \varepsilon$-近似が不可能であることを証明し、これによりNSETHおよびNUNSETHへの一般化を図り、より広範な非還元可能性の結果を得る。
• 構築されたグラフにおける経路の構造を分析し、特定のソースおよびターゲット頂点間で長さ ≤4 の経路が存在すれば、3-OVの解が存在することを示し、解が存在しないという仮定に反する。
• 決定的および確率的還元の両方を適用し、NSETHおよびNUNSETHを用いて、もしそうでなければ高速な $2 - \varepsilon$-近似アルゴリズムの存在を示唆する還元を除外する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SETHのもとで、スパースな有向無重みグラフの直径に対する標準的な近線形時間2-近似アルゴリズムは最適であるか？
• RQ2 SETHを仮定した場合、スパースな有向無重みグラフの直径に対する $2 - \varepsilon$-近似アルゴリズムは $O(n^{1.499})$ 時間で実行可能か？
• RQ3 どの $\delta \in (0,1)$ および $\varepsilon \in (0,1)$ の値についても、決定的SETHに基づく還元によって、$O(n^{1+\delta})$ 時間での $2 - \varepsilon$-近似が不可能であると示せるか？
• RQ4 確率的還元を考慮する場合、NUNSETH仮説のもとで、SETHに基づく還元の限界はどのように変化するか？
• RQ5 特に既存の近似アルゴリズムと関連して、無向グラフにおける直径近似の細粒度計算複雑性の境界は何か？

主な発見

• SETHを仮定すると、任意の $\varepsilon > 0$ に対して、スパースな有向無重みグラフの直径に対する $2 - \varepsilon$-近似アルゴリズムは近線形時間で実行不可能であり、2-近似が最適であることを証明する。
• 任意の $\varepsilon > 0$ に対して、ある $\delta > 0$ が存在し、SETHのもとで $O(n^{1+\delta})$ 時間での $2 - \varepsilon$-近似が不可能であることが示され、境界のタイトさが裏付けられる。
• NSETHのもとでは、$O(n^{1.499})$ 時間での $2 - \varepsilon$-近似アルゴリズムの存在を否定する決定的SETHに基づく還元は存在しないことが示され、現在の還元技術の限界が明らかになる。
• NSETHを仮定すると、決定的SETHに基づく還元によって、$O(n^{1+\delta})$ 時間での $2 - \varepsilon$-近似が不可能である $\delta \in (0,1)$ および $\varepsilon \in (0,1)$ の全範囲を同定する。
• 確率的還元においても、NUNSETH仮説のもとで同様の同定が可能であり、非還元性の結果が確率的設定へと拡張される。
• 構築により、3-OVに解が存在しない場合には直径が3、解が存在する場合には少なくとも5であることが証明され、還元のためのタイトなギャップが確立される。