[論文レビュー] Severi varieties and self rational maps of K3 surfaces

Thomas Dedieu|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Picard群がℤである複素射影K3表面における支配的自己有理写像の研究を行い、代数的次数と位相的次数、分岐、特異的除算子の間の関係に注目する。4次写像の場合、特異的除算子の深さが1のとき、 blown-up 点の数は24以下に制限され、深さが2のとき、1点に限定されることが証明され、このような写像に強い数値的制約が与えられる。

ABSTRACT

Self-rational maps of generic algebraic K3 surfaces are conjectured to be trivial. We relate this conjecture to a conjecture concerning the irreducibility of the universal Severi varieties parametrizing nodal curves of given genus and degree lying on some K3 surface. We also establish a number of numerical constraints satisfied by such non trivial rational maps, that is of topological degree >1.

研究の動機と目的

• Picard群がℤであるK3面上の支配的自己有理写像の存在および幾何的性質を調査すること。
• このような写像の位相的次数と代数的次数の関係を分析し、その表面の幾何に与える影響を検討すること。
• 不確定性の除去に起因する特異的曲線の数と配置を制約すること。
• 一般のK3表面に対して次数>1の写像は存在しないという予想1の妥当性を検証すること。
• チャーン類と分岐データを用いた数値的障害を提供し、可能な自己有理写像を除外または制限すること。

提案手法

• 有理写像φ:S⇢Sを多様体φ̃:S̃→Sに解消するための吹き上げを用いる。
• 特異的除算子の構造と、余接バンドルのチャーン類との関係を、正則力学的枠組みを用いて関係づける。
• Ω_S̃とΩ_Sのプルバックを含む正確な系列を用い、c₂(Ω_S̃)をdeg(φ)と特異的除算子からの寄与項で表す。
• 各E_i上の微分dφ̃の制限を分析し、各E_i上のラインバンドルL_iの次数を上界で評価する。
• 正規双対系列と分岐条件を用い、deg(K_i) ≤ -2およびdeg(L_i) ≥ 1を導出し、c₂(L_i) ≤ -2に至る。
• 公式c₂(Ω_S̃) = deg(φ)·c₂(Ω_S) + Σc₂(L_i)と既知の値c₂(Ω_S̃) = 24 + pを用い、pの境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Picard群がℤであるK3表面が、次数l > 1の支配的自己有理写像をもつことは可能か？
• RQ2 特異的除算子の構造が、吹き上げられた点の数と配置にどのような制約を課えるか？
• RQ3 K3表面の文脈において、このような写像の代数的次数と位相的次数はどのように関係するか？
• RQ4 吹き上げた多様体上のチャーン類の計算から、どのような数値的障害が生じるか？
• RQ5 Picard群がℤであるK3表面のうち、4次または9次写像をもつものは存在するか？また、lの可能な値は何か？

主な発見

• Picard群がℤであるK3面上の4次写像φに対して、特異的除算子の深さが1のとき、吹き上げられた点の数pはp ≤ 24を満たす。
• 特異的除算子の深さが2のとき、無条件に1点のみが吹き上げられる。
• 特異的曲線が互いに交わらない場合、深さ1の写像に対してp ≤ 8(deg(φ) - 1)が成り立つ。
• 4次写像では、代数的次数lの可能な値は、種数2ではl = 6,8,10,…、種数3,4,5ではl = 6,10,14,…に制限される。
• 9次写像では、種数2および3ではlの最小値がl = 5,7,9,…、種数4ではl = 9,15,21,…、種数5ではl = 5,11,13,19,…である。
• 結果として、deg(φ) = 4のとき、命題3.6の仮定が常に満たされることを示し、このような写像に強い数値的制約が存在することが判明する。