[論文レビュー] Shape Theory. III. Comparative Theory of Backgound Independence

Edward Anderson|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2018

Relativity and Gravitational Theory参考文献 63被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、相対論的物理学における背景独立性の比較的理論を提示する。形状（およびスケール）理論を拡張することで、正準制約と可観測量を用いて、局所的に時間の問題を解決する。ハウスドルフパラコンパクトな縮約配置空間が、グローバルな整合性を可能にし、平坦空間の関係的モデルがアフィン的または射影的モデルよりも優先される選択原理を導く。

ABSTRACT

Background Independence is the modern form of the relational side of the Absolute versus Relational Debate. Difficulties with its implementation form the Problem of Time. Its 9 facets - Isham and Kuchař's conceptual classification - correspond to 9 aspects of Background Independence as per the Author's classical-or-quantum theory-independent upgrade. 8 are local. The most significant arena for these is brackets algebra, the first 5 involving canonical constraints as follows. 1) Handling instantaneous gauge invariance. 2) Resolving its apparent timelessness. 3) Closure of 1-2)'s constraints. 4) Expression in terms of observables: commutants with constraints. 5) Reconstructing spacetime from constraint algebra rigidity. 6) is the spacetime counterpart of 2-4), and 7) is spacetime's foliation independence. 8) handles nonuniqueness. 9) renders 1-8) globally sound. We show how Shape(-and-Scale) Theory's mastery of 1) for N-point-particle models extends by placing a mechanics over shape(-and-scale) space to model 1-4). For flat-space Euclidean and similarity models, this gives a local resolution of the Problem of Time. This is moreover consistent within a global treatment if its reduced spaces are Hausdorff paracompact, which admit a Shrinking Lemma. GR's superspace is also Hausdorff paracompact. While 1-9) are poseable for all relativistic theories, and 1-4), 8), 9) for all theories - to all levels of mathematical structure: affine, projective, conformal, topological manifold, topological space... - resolution is on a case-by-case basis. Among N-point-particle theories, then, Article II's Hausdorff paracompact reduced space guarantee selects a very small subset. In particular, affine and projective shapes are precluded and conceiving in terms of shapes in space is preferred over doing so in spacetime. A substantial Selection Principle for Comparative Background Independence is thus born.

研究の動機と目的

• IshamとKuchařの背景独立性の9つの側面を統合し、一貫したフレームワークを構築することで、時間の問題を解決すること。
• 形状（およびスケール）力学が、背景独立性の最初の4つの側面（ゲージ不変性、時間の不在、制約の閉じる性質、可観測量の定式化）を局所的に解決することを示すこと。
• ハウスドルフパラコンパクトな縮約配置空間を用いたグローバル整合性条件を確立し、背景独立性の側面のグローバルな整合性を可能にすること。
• トポロジー的および幾何的制約に基づき、平坦空間のモデル（ユークリッド的および類似的）がアフィン的または射影的モデルよりも優先される選択原理を特定すること。
• 一般相対性理論への拡張として、その形状（およびスケール）空間の類似物を同定し、制約代数の剛性を用いた時空再構成を示すこと。

提案手法

• 関係的配置空間上で力学をモデル化するため、形状（およびスケール）理論を関係的配置空間としての形状（およびスケール）空間を基本的な配置空間とみなすように拡張すること。
• 正準制約形式を用いて、背景独立性の側面1〜4を実装する：瞬時のゲージ不変性の取り扱い、時間の不在の解決、制約の閉じる性質の保証、可観測量の交換子を用いた表現。
• 括弧代数とリー理論的構造（流れ、微分作用素、積分不変量）を用いて、制約のダイナミクスと可観測量を分析すること。
• 剛性定理を用いて、特にユークリッド的および類似的 $N$-点粒子モデルの文脈で、制約代数の剛性から局所的時空を再構成すること。
• 一般相対性理論への拡張として、その超空間がハウスドルフパラコンパクト空間であることを同定し、縮小補題を用いてグローバル整合性を可能にすること。
• 現代のグローバル解析の道具（層、コホーモロジー、分層多様体、ファイバー束）を用いて、時間のグローバル問題と量子拡張における一意でない問題を扱うこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的および量子理論の両領域において、背景独立性の9つの側面を一貫性があり干渉のないフレームワークに統合する方法は何か？
• RQ2 形状（およびスケール）力学は、背景独立性の最初の4つの側面をどのように局所的に解決するのか、どのような意味で？
• RQ3 縮約配置空間に課されるトポロジー的および幾何的条件は、特に時間の問題の文脈において、背景独立性のグローバル整合性を保証するか？
• RQ4 なぜ平坦空間のモデル（ユークリッド的および類似的）が、アフィン的または射影的モデルよりも背景独立性の文脈で特権的とされるのか？
• RQ5 事前に与えられた時空幾何が存在しない状況で、制約代数の剛性からどのように時空を再構成できるのか？その再構成が、正準的および時空的定式化と整合的であるか？

主な発見

• 形状（およびスケール）力学は、形状（およびスケール）空間を配置空間として採用することにより、背景独立性の最初の4つの側面（ゲージ不変性、時間の不在、制約の閉じる性質、可観測量の定式化）を効果的に解決する。
• 縮約配置空間がハウスドルフパラコンパクトであるという要請は、背景独立性のグローバル整合性を保証し、アフィン的および射影的モデルを除外する選択原理を提供する。
• $N$-点粒子系では、平坦空間のモデル（ユークリッド的および類似的）のみがハウスドルフパラコンパクト性の条件を満たし、一貫した関係的理論にとって一意に有効なモデルとなる。
• 一般相対性理論の超空間がハウスドルフパラコンパクトであることが示され、同じグローバル整合性フレームワークを一般相対性理論に適用可能である。
• 事前に与えられた時空幾何が存在しない状況で、制約代数の剛性から時空を再構成できることを確認し、関係的時空構築の有効性を裏付ける。
• フレームワークは、$d$-トーラス $\bb{T}^d$、$d$-球面 $\bb{S}^d$、および $\bb{RP}^d$ を代替の関係的モデルとして同定するが、これらはすべての整合性条件を満たすのは平坦空間のモデルに限る。