[論文レビュー] Sharp constants and optimizers for a class of the Caffarelli-Kohn-Nirenberg inequalities

Nguyen Lam, Guozhen Lu|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 25被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Caffarelli-Kohn-Nirenberg (CKN) 不等式の広範なクラスに対して鋭い定数と明示的な最適化関数を、新規の変換法を用いて確立している。$0 < a < 1$ の場合に、最大値関数の対称性と存在を証明し、特殊な場合 $r = p\frac{q-1}{p-1}$ および $q = p\frac{r-1}{p-1}$ に対して閉形式の極値関数を提供し、すべての $\mu \geq 0$ に対して $a=1$ の場合の正確な最大値関数を示しており、重み付きソボレフ型不等式における鋭い定数および極値関数に関する長年の未解決問題を解決している。

ABSTRACT

In this paper, we will use a suitable tranform to investigate the sharp constants and optimizers for the following Caffarelli-Kohn-Nirenberg inequalities for a wide range of parameters $(r,p,q,s,μ,σ)$ and $0\leq a\leq1$: \begin{equation} \left({\displaystyle\int} \left\vert u ight\vert ^{r}\frac{dx}{\left\vert x ight\vert ^{s}} ight)^{1/r}\leq C\left( {\displaystyle\int} \left\vert abla u ight\vert ^{p}\frac{dx}{\left\vert x ight\vert ^μ% } ight) ^{a/p}\left({\displaystyle\int} \left\vert u ight\vert ^{q}\frac{dx}{\left\vert x ight\vert ^σ% } ight) ^{\left( 1-a ight) /q}. \end{equation} We are able to compute the best constants and the explicit forms of the extremal functions in numerous cases. When $0

研究の動機と目的

• 一般パラメータを有する広範なCaffarelli-Kohn-Nirenberg (CKN) 不等式における最良の定数を特定すること。
• 特に臨界的パラメータ領域において、極値関数（最大値関数）の明示的形を特定すること。
• $0 < a < 1$ の場合に最適化関数の存在と径対称性を確立すること。
• $a = 1$ の場合に、すべての $\mu \geq 0$ に対して正確な最大値関数を提供し、ハーディー＝ソボレフおよびソボレフ不等式に関する既知の結果を拡張すること。
• 重み付きCKN不等式における対称性および対称性の破れの研究を簡素化する変換に基づく手法を開発すること。

提案手法

• 適切な変数変換および変換 $T_{N,d,p}$ を用いて、一般CKN不等式を重みが変更された形に簡略化し、対称性解析を可能にする。
• 変換された不等式が径対称再配分およびノルムを保存するスケーリングに関して不変であるという性質を活用する。
• 双対性の議論とスケーリング技法を用いて、$a=1$ の場合の鋭い定数を導出する。これは、ソボレフおよびハーディー＝ソボレフ不等式に関する既知の結果を一般化する。
• 特殊な場合 $r = p\frac{q-1}{p-1}$ および $q = p\frac{r-1}{p-1}$ において、デル・ピーノとドルベオールの精神に則って最大値関数を明示的に構成し、閉形式の表現を得る。
• 変換された不等式と元の不等式との比較により、$\|\cdot\|$-径対称最大値関数の存在を証明し、変換のノルム挙動に依存する。
• 本稿は、対称性伝播の結果を確立する：変換空間に最大値関数が存在するならば、元の空間に対しても最大値関数が存在し、変換のもとで径対称性が保たれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラメータ $(r,p,q,s,\mu,\sigma)$ および $0 \leq a \leq 1$ の広範な範囲において、Caffarelli-Kohn-Nirenberg不等式の鋭い定数は何か？
• RQ2 $a=1$ の場合に、極値関数（最大値関数）の明示的形は何か？ また、どのようなパラメータ範囲でその存在が保証されるか？
• RQ3 $0 < a < 1$ の場合に、最適化関数が存在し、径対称性を示す条件は何か？
• RQ4 変換法を用いて、異なる重み付きノルム間で最大値関数の対称性を保存または移転することは可能か？
• RQ5 変換 $T_{N,d,p}$ をどのように用いることで、CKN不等式の複雑さを軽減し、極値関数の解析を簡素化できるか？

主な発見

• $a=1$ の場合に、すべての $\mu \geq 0$ に対して正確な最大値関数が提供され、ハーディー＝ソボレフおよびソボレフ不等式に関する既知の結果が一般化されている。
• 特殊な場合 $r = p\frac{q-1}{p-1}$ および $q = p\frac{r-1}{p-1}$ において、極値関数が明示的に構成され、$u_{c,\lambda}(x) = c(\lambda + |x|^{\frac{p-s}{p-1}})^{-\frac{N-p}{p-s}}$ の形をしていることが示され、Euler-Lagrange方程式の既知の解と一致する。
• $0 < a < 1$ の場合に、広範なパラメータ条件の下で最適化関数の存在と径対称性が確立されており、特に $\frac{N-p}{N-p-\mu} > 1$ の場合も含む。
• 変換 $T_{N,d,p}$ は不等式の構造を保存し、変換空間から元の空間への径対称最大値関数の伝播を可能にし、対称性伝播を証明する。
• $a=1$ の場合の鋭い定数は、スケーリングおよび対称性の議論により導出され、アビン、タレンティ、ベッカーの古典的結果が重み付きノルムへと拡張されている。
• 本稿は、変換空間に $\|\cdot\|$-径対称最大値関数が存在するならば、元の空間に対しても $\|\cdot\|$-径対称最大値関数が存在することを証明しており、一般の重み付き条件下での対称性解析を可能にする。